조현태아주대학교 수학과
Lecture · 11

11.9 함수를 거듭제곱급수로 표현하기

Representations of Functions as Power Series

한눈에 보기

앞 절에서 거듭제곱급수 \sum c_n x^n이라는 "무한 차수 다항식"을 만났어요. 이번엔 방향을 뒤집어서, 우리가 아는 함수를 거듭제곱급수로 바꿔 쓰기를 해봐요. 출발점은 딱 하나, 기하급수예요.

  • \dfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n (\vert x\vert < 1) — 이 하나에서 모든 게 파생돼요
  • 항별 미분·적분: 급수를 다항식처럼 한 항씩 미분/적분해서 새 급수를 얻어요
  • \ln(1+x), \arctan x 같은 함수도 급수로 표현돼요

먼저 알아야 할 것

개념 설명

기하급수 표현 — 모든 것의 출발점

기하급수 공식에서 a = 1, r = x로 두면 이렇게 돼요.

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \qquad (\vert x\vert < 1)

왼쪽은 평범한 함수, 오른쪽은 무한 다항식이에요. \vert x\vert < 1인 구간 안에서는 둘이 완전히 같은 값이에요. 이제 요령은, 바꾸고 싶은 함수를 \dfrac{1}{1-(\text{무언가})} 꼴로 맞추는 거예요.

예를 들어 \dfrac{1}{1+x^2}은 \dfrac{1}{1-(-x^2)}이니, x 자리에 -x^2을 넣으면 돼요.

\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots \qquad (\vert x\vert < 1)

이렇게 대입만으로 새 함수의 급수가 뚝딱 나와요.

항별 미적분 — 급수를 다항식처럼 다루기

거듭제곱급수의 진짜 힘은 여기예요. 수렴구간 안에서는 급수를 한 항씩 미분하거나 적분해도 되고, 그 결과가 미분/적분한 함수의 급수가 돼요.

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n \ \Rightarrow\ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n x^{n-1}, \quad \int f(x)\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1} x^{n+1}

말 그대로 x^n을 미분하면 n x^{n-1}, 적분하면 \dfrac{x^{n+1}}{n+1} — 다항식 규칙 그대로예요. 수렴반경 R은 그대로 유지돼요(양 끝점은 따로 확인). 이 도구로, 이미 아는 급수에서 새로운 함수의 급수를 캐낼 수 있어요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

★ \ln(1+x)의 급수를 유도해봐요. 핵심 관찰은 \dfrac{d}{dx}\ln(1+x) = \dfrac{1}{1+x}라는 것, 즉 적분하면 로그가 나온다는 점이에요.

  1. 먼저 \dfrac{1}{1+x}를 급수로. 기하급수에 x \to -x를 넣어요.
\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots \qquad (\vert x\vert < 1)
  1. 양변을 0부터 x까지 항별로 적분해요. 왼쪽은 \ln(1+x)가 되고(\ln 1 = 0이라 상수항 0), 오른쪽은 각 항 x^{n}을 \dfrac{x^{n+1}}{n+1}로 적분해요.
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n \qquad (\vert x\vert < 1)
  1. 같은 방법으로 \arctan x도 나와요. \dfrac{d}{dx}\arctan x = \dfrac{1}{1+x^2}이니, 위에서 구한 \dfrac{1}{1+x^2} 급수를 항별 적분하면 이렇게 돼요.
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \qquad (\vert x\vert \le 1)

x = 1을 넣으면 \dfrac{\pi}{4} = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \cdots라는 유명한 공식이 나와요 — 급수 하나로 \pi가 튀어나오죠. x = 1은 딱 끝점인데, 이 급수는 교대급수라 거기서도 수렴하고 그 값이 실제로 \arctan 1과 같다는 것까지 증명돼 있어요(그래서 위 조건이 \vert x\vert \le 1이에요). "끝점은 따로 확인해야 한다"는 규칙의 실제 사례인 셈이죠.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • \dfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n (\vert x\vert < 1) 하나가 출발점 — x 자리에 다른 식을 대입해 여러 함수의 급수를 얻어요.
  • 수렴구간 안에서는 급수를 다항식처럼 항별로 미분·적분할 수 있어요.
  • 이걸로 \dfrac{1}{1+x^2}, \ln(1+x), \arctan x 같은 함수의 급수를 유도했어요.
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 11.10 테일러 급수는 이 아이디어를 일반화해서, 미분값만 알면 어떤 함수든 급수로 펼치는 공식을 줘요. 이번 절이 그 특수한 첫 사례예요.

연습문제

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11.9 함수를 거듭제곱급수로 표현하기 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.825

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문제 1. 거듭제곱급수 \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n 의 수렴반지름이 10 이라면, 다음 급수의 수렴반지름은 얼마일까요? 그 이유도 설명하세요.

\sum_{n=1}^{\infty} n c_n x^{n-1}
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문제에 나온 두 번째 급수는 사실 첫 번째 급수를 항별로 미분한 것이에요. 원래 급수의 각 항 c_n x^n 을 x 로 미분하면 n c_n x^{n-1} 이 되니까요.

여기서 쓰는 핵심 정리(교재 정리 11.9.2)는 이거예요.

거듭제곱급수를 항별로 미분하거나 적분해도 수렴반지름은 바뀌지 않는다.

즉 미분을 해도 급수가 "얼마나 넓은 범위에서 수렴하는지"를 나타내는 반지름은 그대로 유지돼요. (수렴 구간의 양 끝점에서의 수렴 여부는 달라질 수 있지만, 반지름 자체는 같아요.)

따라서 미분한 급수 \sum_{n=1}^{\infty} n c_n x^{n-1} 의 수렴반지름도

R = 10

이에요.

문제 2. 급수 \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n 이 \vert x \vert < 2 에서 수렴한다는 사실을 알고 있다고 해요. 그렇다면 다음 급수에 대해 무엇을 말할 수 있을까요? 그 이유도 설명하세요.

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_n}{n+1} x^{n+1}
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두 번째 급수는 첫 번째 급수를 항별로 적분한 것이에요. 항 b_n x^n 을 x 로 적분하면

\int b_n x^n \, dx = \frac{b_n}{n+1} x^{n+1}

이 되기 때문이에요.

문제 1에서와 마찬가지로, 항별 적분은 수렴반지름을 줄이지 않아요(정리 11.9.2). 다만 "\vert x \vert < 2 에서 수렴한다"는 사실만으로는 원래 급수의 수렴반지름이 정확히 2 라고 단정할 수는 없어요 — 확실한 것은 R \ge 2 라는 것뿐이에요(예를 들어 모든 x 에서 수렴하는 급수도 이 전제를 만족하니까요).

따라서 적분한 급수 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_n}{n+1} x^{n+1} 에 대해 말할 수 있는 것은, 최소한 \vert x \vert < 2 에서 수렴한다는 사실이에요. 수렴반지름으로 쓰면

R \ge 2

예요. (양 끝점 x = \pm 2 에서의 수렴 여부는 이 정보만으로는 알 수 없어요. 적분을 하면 분모에 n+1 이 붙어 항이 더 작아지므로, 끝점에서 오히려 수렴하게 될 수도 있어요.)

문제 4. 함수 f(x) = \dfrac{x}{1+x} 의 거듭제곱급수 표현을 구하고, 수렴 구간을 정하세요.

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출발점은 항상 등비급수 공식이에요.

\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \quad (\vert r \vert < 1)

\dfrac{1}{1+x} 를 이 꼴로 맞추려면 r = -x 로 두면 돼요.

\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n

이제 앞에 x 를 곱해주면 원하는 함수가 나와요.

f(x) = \frac{x}{1+x} = x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{n+1}

즉 f(x) = x - x^2 + x^3 - x^4 + \cdots 예요.

수렴 구간: 등비급수는 \vert -x \vert < 1, 즉 \vert x \vert < 1 에서 수렴해요. 앞에 x 를 곱하는 것은 수렴 여부를 바꾸지 않으니 열린 구간은 (-1, 1) 이에요.

끝점을 확인해 볼게요.

  • x = 1: 급수는 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots 이라 항이 0 으로 가지 않으므로 발산해요.
  • x = -1: 급수는 \sum (-1)^n (-1)^{n+1} = \sum (-1) = -1 -1 -1 - \cdots 이라 역시 발산해요.

따라서 수렴 구간은 (-1, 1) 이에요.

문제 7. 함수 f(x) = \dfrac{2}{3-x} 의 거듭제곱급수 표현을 구하고, 수렴 구간을 정하세요.

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분모를 1 - (\text{무언가}) 꼴로 만드는 것이 요령이에요. 분모 3-x 에서 3 을 밖으로 빼내요.

\frac{2}{3-x} = \frac{2}{3 \left( 1 - \frac{x}{3} \right)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{3}}

이제 r = \dfrac{x}{3} 인 등비급수를 적용해요.

\frac{2}{3-x} = \frac{2}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{x}{3} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{3^{n+1}} x^n

즉 f(x) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} x + \dfrac{2}{27} x^2 + \cdots 예요.

수렴 구간: \left\vert \dfrac{x}{3} \right\vert < 1, 즉 \vert x \vert < 3 에서 수렴해요. 끝점 x = \pm 3 에서는 공비가 \pm 1 인 등비급수가 되어 항이 0 으로 가지 않으므로 발산해요.

따라서 수렴 구간은 (-3, 3) 이에요.

문제 9. 함수 f(x) = \dfrac{x^2}{x^4+16} 의 거듭제곱급수 표현을 구하고, 수렴 구간을 정하세요.

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문제 7처럼 분모에서 상수 16 을 밖으로 빼내요.

\frac{x^2}{x^4 + 16} = \frac{x^2}{16 \left( 1 + \frac{x^4}{16} \right)} = \frac{x^2}{16} \cdot \frac{1}{1 - \left( -\frac{x^4}{16} \right)}

이번에는 공비가 r = -\dfrac{x^4}{16} 이에요.

\frac{1}{1 - \left( -\frac{x^4}{16} \right)} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{x^4}{16} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n}}{16^n}

앞의 \dfrac{x^2}{16} 를 곱해줘요.

f(x) = \frac{x^2}{16} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n}}{16^n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{16^{n+1}}

즉 f(x) = \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{x^6}{256} + \dfrac{x^{10}}{4096} - \cdots 예요.

수렴 구간: \left\vert -\dfrac{x^4}{16} \right\vert < 1, 즉 x^4 < 16 이므로 \vert x \vert < 2 에서 수렴해요.

끝점 x = \pm 2 를 확인해 볼게요. x = \pm 2 이면 x^{4n+2} = 2^{4n+2} = 4 \cdot 16^n 이므로 일반항은

(-1)^n \frac{4 \cdot 16^n}{16^{n+1}} = (-1)^n \frac{4}{16} = (-1)^n \frac{1}{4}

이 되어 0 으로 가지 않아 발산해요.

따라서 수렴 구간은 (-2, 2) 예요.

문제 13. 함수 f(x) = \dfrac{2x-4}{x^2-4x+3} 를 먼저 부분분수로 나눈 뒤 거듭제곱급수의 합으로 나타내고, 수렴 구간을 정하세요.

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1단계 · 부분분수 분해. 분모를 인수분해하면 x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) 이에요. 그래서 다음처럼 놓아요.

\frac{2x-4}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3}

양변에 (x-1)(x-3) 을 곱하면 2x - 4 = A(x-3) + B(x-1) 이에요.

  • x = 1 을 넣으면 -2 = A(-2) 이므로 A = 1.
  • x = 3 을 넣으면 2 = B(2) 이므로 B = 1.

따라서

f(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3}

2단계 · 각 항을 등비급수로. 두 조각 모두 부호를 바꿔 1 - (\text{무언가}) 꼴로 만들어요.

\frac{1}{x-1} = \frac{-1}{1-x} = -\sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (\vert x \vert < 1)
\frac{1}{x-3} = \frac{-1}{3-x} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{3}} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{3^{n+1}} \quad (\vert x \vert < 3)

3단계 · 합치기. 두 급수를 더하면

f(x) = -\sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{3^{n+1}} = -\sum_{n=0}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{3^{n+1}} \right) x^n

검산: x = 0 을 넣으면 급수는 -\left(1 + \frac{1}{3}\right) = -\dfrac{4}{3}. 원래 함수는 \dfrac{-4}{3}. 일치해요.

수렴 구간: 두 조건 \vert x \vert < 1 과 \vert x \vert < 3 을 모두 만족해야 하므로 더 좁은 쪽인 \vert x \vert < 1 이에요. 끝점 x = \pm 1 에서는 첫 번째 급수 -\sum x^n 의 항이 0 으로 가지 않아 발산해요.

따라서 수렴 구간은 (-1, 1) 이에요.

문제 15.

(a) 미분을 이용해 f(x) = \dfrac{1}{(1+x)^2} 의 거듭제곱급수 표현을 구하세요. 수렴반지름은 얼마인가요?

(b) (a)를 이용해 f(x) = \dfrac{1}{(1+x)^3} 의 거듭제곱급수를 구하세요.

(c) (b)를 이용해 f(x) = \dfrac{x^2}{(1+x)^3} 의 거듭제곱급수를 구하세요.

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(a) 먼저 문제 4에서 얻은 급수에서 출발해요.

\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \quad (\vert x \vert < 1)

이 양변을 x 로 미분해요. 왼쪽은

\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+x} \right) = -\frac{1}{(1+x)^2}

이고, 오른쪽은 항별 미분으로

\frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n x^{n-1}

이에요. 두 결과를 등호로 놓고 양변에 -1 을 곱하면

\frac{1}{(1+x)^2} = -\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n x^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n x^{n-1}

n 을 n+1 로 바꿔 지수를 깔끔하게 만들면

\frac{1}{(1+x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) x^n

즉 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \cdots 예요. 미분은 수렴반지름을 바꾸지 않으므로 R = 1 이에요.

검산: x = 0 을 넣으면 n=0 항만 남아 1. 원래 함수 \dfrac{1}{(1+0)^2} = 1. 일치해요.

(b) 이번에는 (a)에서 얻은 급수를 다시 미분해요. 우선

\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(1+x)^2} \right) = -\frac{2}{(1+x)^3}

이므로

\frac{1}{(1+x)^3} = -\frac{1}{2} \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(1+x)^2} \right)

(a)의 급수를 항별 미분하면

\frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) x^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (n+1) n \, x^{n-1}

따라서

\frac{1}{(1+x)^3} = -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (n+1) n \, x^{n-1} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} (n+1) n \, x^{n-1}

n 을 n+1 로 바꾸면

\frac{1}{(1+x)^3} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+2)(n+1) x^n

검산: x = 0 에서 n=0 항은 \dfrac{1}{2}(2)(1) = 1. 원래 함수 \dfrac{1}{(1+0)^3} = 1. 일치하고 R = 1 이에요.

(c) (b)에 x^2 을 곱하기만 하면 돼요.

\frac{x^2}{(1+x)^3} = x^2 \cdot \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+2)(n+1) x^n = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+2)(n+1) x^{n+2}

곱하기 x^2 은 수렴반지름을 바꾸지 않으므로 R = 1 이에요.

문제 19. 함수 f(x) = \dfrac{1+x}{(1-x)^2} 의 거듭제곱급수 표현을 구하고, 수렴반지름을 정하세요.

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교재 예제에서 이미 알고 있는 급수를 이용해요.

\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n \quad (\vert x \vert < 1)

이제 f(x) 는 여기에 (1+x) 를 곱한 거예요.

f(x) = (1+x) \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n + \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^{n+1}

두 번째 합에서 지수를 맞추려고 n 을 n-1 로 바꾸면

\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} n \, x^n

두 합을 더해요. 첫 번째 합의 n=0 항은 1 이고, n \ge 1 에서는 계수가 (n+1) + n = 2n+1 이에요.

f(x) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1) x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (2n+1) x^n

(n=0 일 때 2 \cdot 0 + 1 = 1 이라 첫 항까지 하나의 합으로 묶을 수 있어요.)

검산: 직접 곱해서 처음 몇 항을 확인해 볼게요.

(1+x)(1 + 2x + 3x^2 + \cdots) = 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \cdots

계수 1, 3, 5, 7 은 2n+1 과 정확히 맞아요.

수렴반지름은 원래 급수와 같은 R = 1 이에요.

문제 21. 함수 f(x) = \ln(5-x) 의 거듭제곱급수 표현을 구하고, 수렴반지름을 정하세요.

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\ln 이 있는 함수는 미분해서 등비급수를 만들고 다시 적분하는 전략을 써요.

먼저 미분하면

\frac{d}{dx} \ln(5-x) = \frac{-1}{5-x}

\dfrac{1}{5-x} 를 급수로 펼쳐요(문제 7과 같은 방식).

\frac{1}{5-x} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{5}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{5^{n+1}} \quad (\vert x \vert < 5)

이제 \ln(5-x) 를 되찾기 위해 양변을 적분해요.

\ln(5-x) = -\int \frac{1}{5-x} \, dx = -\int \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{5^{n+1}} \, dx = C - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1) \, 5^{n+1}}

상수 C 는 x = 0 을 넣어 정해요. 왼쪽은 \ln 5, 오른쪽은 C 이므로 C = \ln 5 예요.

\ln(5-x) = \ln 5 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1) \, 5^{n+1}}

지수를 깔끔하게 하려고 n 을 n-1 로 바꾸면

\ln(5-x) = \ln 5 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \, 5^n}

검산: 이 급수를 다시 미분하면

-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{5^n} = -\frac{1}{5} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{x}{5} \right)^{n-1} = -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{5}} = -\frac{1}{5-x}

원래 도함수와 일치해요.

수렴반지름은 등비급수의 것과 같은 R = 5 예요.

문제 29. 부정적분 \displaystyle\int x^2 \ln(1+x) \, dx 를 거듭제곱급수로 나타내세요. 수렴반지름은 얼마인가요?

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교재 예제 5에서 얻은 \ln(1+x) 의 급수를 이용해요.

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \quad (\vert x \vert < 1)

여기에 x^2 을 곱하면 적분할 함수가 나와요.

x^2 \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{n+2}}{n}

이제 항별로 적분해요. x^{n+2} 을 적분하면 \dfrac{x^{n+3}}{n+3} 이 돼요.

\int x^2 \ln(1+x) \, dx = C + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{n+3}}{n(n+3)}

검산: 급수 안의 항 \dfrac{x^{n+3}}{n(n+3)} 을 다시 미분하면 \dfrac{(n+3) x^{n+2}}{n(n+3)} = \dfrac{x^{n+2}}{n} 이 되어 적분 전 함수와 일치해요.

적분은 수렴반지름을 바꾸지 않으므로 R = 1 이에요.

문제 31. 거듭제곱급수를 이용해 정적분 \displaystyle\int_0^{0.3} \frac{x}{1+x^3} \, dx 를 소수점 아래 여섯 자리까지 근사하세요.

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1단계 · 피적분함수를 급수로. \dfrac{1}{1+x^3} 를 공비 r = -x^3 인 등비급수로 펼치고 x 를 곱해요.

\frac{x}{1+x^3} = x \sum_{n=0}^{\infty} (-x^3)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{3n+1} \quad (\vert x \vert < 1)

2단계 · 항별 적분. x^{3n+1} 을 적분하면 \dfrac{x^{3n+2}}{3n+2} 이에요.

\int_0^{0.3} \frac{x}{1+x^3} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(0.3)^{3n+2}}{3n+2}

3단계 · 항 계산. 처음 몇 항을 계산해요.

n=0: \quad \frac{(0.3)^2}{2} = \frac{0.09}{2} = 0.045
n=1: \quad -\frac{(0.3)^5}{5} = -\frac{0.00243}{5} = -0.000486
n=2: \quad \frac{(0.3)^8}{8} = \frac{0.00006561}{8} \approx 0.00000820
n=3: \quad -\frac{(0.3)^{11}}{11} \approx -\frac{0.000001771}{11} \approx -0.00000016

4단계 · 오차 판단. 이 급수는 교대급수이므로, 어떤 항까지 더했을 때의 오차는 그다음 버린 항보다 작아요. n=3 항이 약 1.6 \times 10^{-7} 이고 n=4 항은 약 3.4 \times 10^{-9} 로 여섯째 자리(5 \times 10^{-7})보다 훨씬 작으니, 위 네 항만 더하면 충분해요.

0.045 - 0.000486 + 0.00000820 - 0.00000016 \approx 0.044522

따라서

\int_0^{0.3} \frac{x}{1+x^3} \, dx \approx 0.044522

예요.

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