한눈에 보기
1변수에서 정적분 \int_a^b f(x)\,dx가 곡선 아래 넓이였다면, 2변수에서 이중적분 \iint_R f(x,y)\,dA는 곡면 z = f(x,y) 아래 부피예요. 영역 R을 잘게 나눠 작은 기둥들의 부피를 다 더한 뒤, 조각을 무한히 잘게 하는 극한(리만합)이 바로 이중적분이죠. 계산은 겁먹을 필요 없어요 — 반복적분(iterated integral)으로 안쪽부터 한 번, 바깥쪽으로 또 한 번, 1변수 적분을 두 번 하면 끝이에요.
- 이중적분 = 곡면 아래 부피(리만합의 극한)
- 계산은 반복적분: 안쪽 변수 먼저, 바깥쪽 변수 나중
- 푸비니 정리: dy\,dx와 dx\,dy 순서를 바꿔도 답은 같아요
먼저 알아야 할 것
개념 설명
부피를 잘게 쪼개 더하기
직사각형 영역 R = [a,b] \times [c,d] 위에 곡면 z = f(x,y)가 있다고 해요. R을 자잘한 격자로 나누고, 각 칸 위에 높이 f인 얇은 기둥을 세워요. 기둥 하나의 부피는 대략 (밑넓이)\times(높이) = \Delta A \cdot f(x,y)죠. 이걸 전부 더한 게 이중 리만합이고, 칸을 무한히 잘게 하는 극한이 이중적분 \iint_R f(x,y)\,dA예요. 여기서 dA는 "아주 작은 넓이 조각"을 뜻해요. f \ge 0이면 이 값이 곡면 아래 부피와 정확히 같아요.
반복적분 — 1변수 적분을 두 번
극한을 직접 계산할 순 없으니, 실전에선 반복적분을 써요. 아이디어는 이래요. 부피를 얇은 단면으로 저며서, 단면 넓이를 먼저 구하고 그걸 다시 쭉 더하는 거예요.
x를 잠깐 고정하면 f(x,y)는 y만의 함수가 돼요. 이걸 y에 대해 \int_c^d f(x,y)\,dy로 적분하면, x 위치에서의 단면 넓이 A(x)가 나와요. 이제 그 단면들을 x 방향으로 \int_a^b A(x)\,dx처럼 더하면 전체 부피죠. 핵심은 안쪽 적분을 할 때 바깥쪽 변수는 상수 취급한다는 점이에요.
푸비니 정리 — 순서를 바꿔도 된다
단면을 x 방향으로 저미든 y 방향으로 저미든 같은 부피가 나와야겠죠. 그래서 f가 연속이면 적분 순서를 바꿔도 답이 같아요. 이게 푸비니 정리예요. 한쪽 순서가 계산하기 까다로우면 반대로 돌려도 된다는, 아주 실용적인 무기예요.
수식 하나하나 뜯어보기
한 가지 편한 특수 경우도 있어요. f(x,y) = g(x)\,h(y)처럼 곱으로 쪼개지면, 적분도 따로 갈라져요.
손으로 따라가는 예제
R = [0,1] \times [0,2] 위에서 \displaystyle \int_0^1 \int_0^2 (x + y)\,dy\,dx를 계산해 봅시다. 안쪽이 dy이니, x를 상수로 두고 y로 먼저 적분해요.
- 안쪽 적분(y: 0→2, x는 상수):
- 이제 이 결과를 바깥에서 x로 적분(x: 0→1):
- 답은 3이에요. 푸비니로 순서를 바꿔 \int_0^2 \int_0^1 (x+y)\,dx\,dy로 해도 똑같이 3이 나오는지 직접 확인해 보면 감이 확 와요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 이중적분 \iint_R f\,dA = 곡면 아래 부피(이중 리만합의 극한).
- 계산은 반복적분: 안쪽 변수 먼저(바깥 변수는 상수), 그 결과를 바깥 변수로 다시 적분.
- 푸비니 정리: 연속이면 dy\,dx \leftrightarrow dx\,dy 순서를 바꿔도 답이 같아요.
- f = g(x)h(y)로 쪼개지면 두 적분의 곱으로 분리돼요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 15.2에서는 직사각형이 아닌 일반 영역 위의 이중적분으로 넓혀요 — 그때는 적분 한계가 상수가 아니라 함수(y = g(x) 같은)가 되고, 순서를 바꿀 때 영역 그림을 다시 그리는 게 핵심이 돼요.