한눈에 보기
15.2에서 배운 이중적분은 "곡면 아래 부피"만 구하는 도구가 아니에요. 영역 위에 무언가가 퍼져 있을 때 그걸 다 합치는 장치예요. 그 "무언가"가 밀도면 질량이 나오고, 위치까지 곱하면 질량중심이, 확률밀도면 확률이 나와요. 하나의 적분 틀로 물리와 통계를 동시에 다루는 게 이 절의 묘미예요.
- 질량 = 밀도의 이중적분
- 질량중심 = 모멘트를 질량으로 나눈 것
- 관성모멘트 = 회전 저항의 척도
- 결합확률밀도의 이중적분 = 확률(전체 = 1)
먼저 알아야 할 것
개념 설명
질량과 질량중심
밀도가 어디서나 같은 얇은 판이라면 질량은 그냥 \text{밀도} \times \text{넓이}예요. 그런데 밀도가 자리마다 다르면(\rho(x, y)), 판을 아주 작은 조각으로 쪼개 각 조각의 질량 \rho\,dA를 다 더해야 해요. 그 "다 더하기"가 바로 이중적분이에요.
질량중심은 판을 한 점에서 받쳤을 때 완벽하게 균형이 잡히는 점 (\bar{x}, \bar{y})예요. 무거운 쪽으로 쏠린 평균 위치라고 보면 돼요. 이걸 구하려면 먼저 모멘트(moment)를 계산해요 — 모멘트는 "위치 \times 질량"을 다 합친 값으로, 축에서 얼마나 쏠려 있나를 재는 양이에요. 그 모멘트를 전체 질량으로 나누면 균형점이 나와요.
관성모멘트
질량중심이 "위치 \times 밀도"의 합이었다면, 관성모멘트(moment of inertia)는 "거리 제곱 \times 밀도"의 합이에요. 원점 기준이면
예요. 거리를 제곱으로 가중하니까 축에서 먼 질량일수록 훨씬 크게 세어져요 — "먼 곳에 질량이 있을수록 돌리기 힘들다"는 회전 저항의 감각을 이 제곱 가중이 담고 있어요.
확률밀도
두 연속변수의 분포를 나타내는 게 결합확률밀도 f(x, y)예요. 밀도판의 \rho와 수학적으로 똑같이 생겼지만, 여기서 "쌓이는 양"은 질량이 아니라 확률이에요. (X, Y)가 어떤 영역 D 안에 들어갈 확률은 그 영역 위에서 f를 이중적분한 값이고요. 결정적 조건은 두 가지예요: f \ge 0이어야 하고(음의 확률은 없으니까), 평면 전체에서의 적분이 1이어야 해요(어딘가엔 반드시 있으니까). 이게 1변수 확률밀도의 "넓이 = 1"이 2차원으로 올라간 버전이에요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
밀도가 \rho(x, y) = x + y인 판이 정사각형 R = [0, 1] \times [0, 1] 위에 있어요. 질량을 구해봅시다.
- 세우기: m = \iint_R (x + y)\,dA = \displaystyle\int_0^1 \int_0^1 (x + y)\,dx\,dy.
- 안쪽 적분(x에 대해, y는 상수 취급): \displaystyle\int_0^1 (x + y)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + yx\right]_0^1 = \frac{1}{2} + y.
- 바깥 적분(y에 대해): \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{2} + y\right)dy = \left[\frac{y}{2} + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.
그래서 질량은 m = 1이에요. 밀도가 원점 근처에선 0에 가깝고 (1, 1) 쪽으로 갈수록 커지니, 질량중심도 정중앙 (0.5, 0.5)보다 오른쪽 위로 살짝 쏠려요(계산하면 \bar{x} = \bar{y} = \tfrac{7}{12} \approx 0.58). 무거운 쪽으로 균형점이 옮겨간다는 감각이 그대로 보이죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 질량 m = \iint_R \rho\,dA — 밀도를 영역 전체에 걸쳐 다 더한 것.
- 질량중심 (\bar{x}, \bar{y}) — 위치를 밀도로 가중한 모멘트를 질량으로 나눈 균형점.
- 관성모멘트 — 축에서의 거리 제곱으로 가중해, 회전에 대한 저항을 재는 양.
- 확률 — 결합확률밀도 f(x, y)의 이중적분이 확률이고, 전체 적분은 정확히 1이에요. 통계·머신러닝 연속확률의 토대예요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 15.6 삼중적분이 이 아이디어를 3차원 입체(부피 밀도)로 그대로 확장해요 — 판이 아니라 덩어리의 질량과 무게중심을 구하게 돼요.