15.8 구면좌표에서의 삼중적분

Triple Integrals in Spherical Coordinates

한눈에 보기

원기둥좌표(15.7)가 "바닥은 극좌표, 높이는 그대로"였다면, 구면좌표(spherical coordinates)는 아예 원점에서의 거리와 두 각으로 위치를 잡아요. 점을 (\rho, \theta, \phi) 세 값으로 나타내죠. \rho는 원점까지의 거리, \theta는 (위에서 내려다본) 방위각, \phi는 z축과 이루는 천정각이에요. 공이나 구각(껍질)처럼 중심 대칭인 영역에서는 이 좌표가 계산을 극적으로 줄여줘요.

구면좌표 (\rho, \theta, \phi)와 직교좌표의 변환 공식
핵심 부피요소 dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta
구·구각 위 삼중적분

먼저 알아야 할 것

개념 설명

거리 하나, 각 둘

점 P를 이렇게 잡아요.

\rho (로): 원점에서 P까지의 거리. 항상 \rho \ge 0.
\theta (세타): P를 바닥(xy평면)으로 내려 그림자를 만들었을 때, 그 그림자가 x축과 이루는 방위각. 극좌표의 \theta와 같아요. 범위는 보통 0 \le \theta \le 2\pi.
\phi (피, phi): z축(위쪽)에서 P 방향으로 재는 천정각. 원주율 \pi(파이)와는 다른 그리스 문자니 헷갈리지 마세요. 북극이 \phi = 0, 적도가 \phi = \pi/2, 남극이 \phi = \pi. 범위는 0 \le \phi \le \pi.

직교좌표로의 변환은 이래요.

x = \rho \sin\phi \cos\theta, \qquad y = \rho \sin\phi \sin\theta, \qquad z = \rho \cos\phi

z = \rho\cos\phi가 왜 그런지 보면, 천정각 \phi가 작을수록(위로 갈수록) \cos\phi가 1에 가까워 높이가 높죠. 바닥 그림자의 길이는 \rho\sin\phi인데, 이걸 다시 \cos\theta, \sin\theta로 나눠 x, y를 얻어요 — 극좌표를 한 겹 씌운 셈이에요.

왜 \rho^2 \sin\phi

좌표를 바꾸면 부피 조각의 크기가 달라져요. \rho, \theta, \phi를 아주 조금씩(d\rho, d\theta, d\phi) 늘려 만든 작은 상자를 생각해 봅시다. 세 변의 실제 길이는 이래요.

\rho 방향: 그냥 d\rho (거리 자체라 보정 없음).
\phi 방향: 반지름 \rho인 원을 따라 각 d\phi만큼 움직인 호라서 길이가 \rho \, d\phi.
\theta 방향: 이 원은 z축을 도는데, 그 반지름이 바닥 그림자 길이인 \rho \sin\phi예요. 그래서 호의 길이가 \rho\sin\phi \, d\theta.

세 길이를 곱하면 작은 상자의 부피가 나와요.

dV = d\rho \cdot \rho \, d\phi \cdot \rho\sin\phi \, d\theta = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta

극좌표에서 r이 붙었듯, 구면좌표에서는 \rho^2 \sin\phi가 붙어요. 이게 이 절의 심장이에요.

수식 하나하나 뜯어보기

수식 뜯어보기

구면좌표 삼중적분

\iiint_E f \, dV = \iiint f(\rho, \theta, \phi) \, \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta

기호	읽는 법	뜻
\rho	"로"	원점까지의 거리, \rho \ge 0
\theta	"세타"	방위각, 0 \le \theta \le 2\pi
\phi	"피"(그리스 문자 phi)	천정각(z축과의 각), 0 \le \phi \le \pi
\rho^2 \sin\phi	"로 제곱 사인 피"	부피 보정 인자(야코비안)

문장으로 읽으면: "거리 \rho, 방위각 \theta, 천정각 \phi로 공간을 훑되, 각 조각의 실제 부피는 \rho^2 \sin\phi를 곱해 재어요."

손으로 따라가는 예제

반지름 a인 공의 부피가 \dfrac{4}{3}\pi a^3이라는 걸 구면좌표로 유도해 봅시다. 공은 "원점에서 거리가 a 이하인 점 전체"라, 범위가 아주 깔끔해요.

0 \le \rho \le a, \qquad 0 \le \phi \le \pi, \qquad 0 \le \theta \le 2\pi

부피는 f = 1인 삼중적분이에요.

V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{a} \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta

세 적분이 서로 곱으로 분리되니 하나씩 처리해요.

\rho 적분: \displaystyle\int_0^a \rho^2 \, d\rho = \dfrac{a^3}{3}.
\phi 적분: \displaystyle\int_0^{\pi} \sin\phi \, d\phi = \big[-\cos\phi\big]_0^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2.
\theta 적분: \displaystyle\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi.

셋을 곱하면 이래요.

V = \frac{a^3}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4}{3}\pi a^3

직교좌표로 했다면 \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} 같은 루트와 씨름했을 텐데, 구면좌표에서는 곱셈 세 번으로 끝났어요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

구면좌표 (\rho, \theta, \phi) = 원점까지의 거리 + 방위각 + 천정각. 변환은 x = \rho\sin\phi\cos\theta,\ y = \rho\sin\phi\sin\theta,\ z = \rho\cos\phi.
부피요소는 dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta — 이 절의 전부라 해도 돼요.
공·구각처럼 중심 대칭인 영역에서 범위가 상수로 깔끔해져, 삼중적분이 곱셈 몇 번으로 풀려요.
뒤에서 다시 만나는 곳: 15.9 변수변환에서 이 \rho^2\sin\phi의 정체가 야코비안(Jacobian)이라는 걸 배워요. 어떤 좌표변환이든 부피 보정 인자를 구하는 일반 공식이 있고, 극좌표의 r과 구면의 \rho^2\sin\phi는 그 특수한 경우예요.

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