한눈에 보기
함수가 "x를 넣으면 y가 나온다"라면, 역함수(inverse function)는 그 반대예요 — "y를 넣으면 원래의 x를 돌려준다". 마치 되감기 버튼 같은 거죠. 다만 아무 함수나 되감을 수 있는 건 아니에요. 출력만 보고 입력을 하나로 딱 집어낼 수 있을 때, 즉 일대일(one-to-one)일 때만 역함수가 존재해요. 이 절에서는 역함수가 뭔지, 그래프가 어떻게 생겼는지, 그리고 역함수의 기울기를 원래 함수의 기울기로 어떻게 구하는지 봐요.
- 역함수 f^{-1}의 정의 — 일대일 함수만 되감을 수 있어요
- 그래프는 y = x에 대칭
- 역함수의 도함수 (f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}
- 수평선 판정법으로 일대일 여부 확인
먼저 알아야 할 것
개념 설명
역함수
함수 f가 서로 다른 입력에 항상 서로 다른 출력을 준다면, 즉 x_1 \neq x_2일 때 f(x_1) \neq f(x_2)라면 f를 일대일이라고 해요. 이럴 때만 출력을 보고 입력을 하나로 되짚을 수 있어요. 그 되짚는 함수가 역함수 f^{-1}이에요.
정의를 한 줄로 쓰면 이래요.
말로 하면 "f가 x를 y로 보냈으면, f^{-1}은 그 y를 도로 x로 보낸다"예요. 그래서 둘을 이어 붙이면 제자리로 돌아와요: f^{-1}(f(x)) = x이고 f(f^{-1}(y)) = y. f의 정의역과 치역이 f^{-1}에서는 서로 뒤바뀐다는 점도 기억해 두세요.
일대일인지 어떻게 알까요? 그래프에 수평선(가로줄)을 그어 보면 돼요. 어떤 수평선을 그어도 그래프와 많아야 한 번만 만나면 일대일이에요. 이걸 수평선 판정법(horizontal line test)이라고 해요. 예를 들어 f(x) = x^2은 수평선 y = 4가 그래프와 두 점(x = 2, x = -2)에서 만나니 일대일이 아니에요 — 그래서 정의역을 x \ge 0으로 제한해야 역함수가 생겨요.
역함수의 도함수
역함수의 그래프는 원래 함수의 그래프를 직선 y = x에 대칭시킨 모양이에요. (a, b)가 f의 그래프 위에 있으면 (b, a)는 f^{-1}의 그래프 위에 있으니까요. 대각선을 사이에 두고 거울에 비친 것처럼 뒤집혀요.
여기서 도함수 이야기가 나와요. 그래프를 y = x에 대칭시키면 기울기가 어떻게 될까요? 대칭은 x축과 y축의 역할을 맞바꾸는 것이라, 기울기가 역수가 돼요. 원래 그래프의 어떤 점에서 기울기가 3이었다면, 대칭시킨 점에서는 \tfrac{1}{3}이 되는 식이죠. 이걸 식으로 정리한 게 다음 공식이에요.
이 공식이 편한 이유가 있어요. 역함수 f^{-1}의 식을 직접 못 구하는 경우에도(예: f(x) = x + e^x은 되감는 식을 깔끔히 못 써요), f'만 알면 역함수의 기울기를 구할 수 있거든요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
f(x) = x^3 + 2x + 1일 때, a = 1에 대응하는 점에서 (f^{-1})'을 구해 봅시다. 역함수 식을 직접 못 구해도 공식이면 돼요.
- 먼저 b를 찾아요: b = f(1) = 1^3 + 2\cdot 1 + 1 = 4. 즉 f가 1을 4로 보냈으니, f^{-1}은 4를 1로 되돌려요.
- 원래 함수의 도함수: f'(x) = 3x^2 + 2.
- a = 1에서의 기울기: f'(1) = 3\cdot 1 + 2 = 5.
- 공식에 넣어요: (f^{-1})'(4) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{5}.
역함수의 식은 손도 못 댔지만, 점 (4, 1)에서 역함수의 기울기가 \tfrac{1}{5}라는 걸 알아냈어요. (덤: f'(x) = 3x^2 + 2가 항상 양수라 f는 계속 증가하니 일대일이고, 그래서 역함수가 존재해요.)
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 역함수 f^{-1}은 f를 되감는 함수, 일대일일 때만 존재해요(수평선 판정법으로 확인).
- 그래프는 y = x에 대칭이고, 그래서 대응하는 점에서 기울기가 역수가 돼요.
- 역함수의 도함수: (f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}, 단 b = f(a)이고 f'(a) \neq 0. 역함수 식을 몰라도 구할 수 있어요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 6.2~6.4에서 다루는 지수함수 e^x와 로그함수 \ln x가 바로 서로의 역함수예요. 이 절의 도함수 공식이 로그의 미분을 이끌어내는 열쇠가 돼요.