한눈에 보기
함수를 매번 처음부터 만들 필요는 없어요. 이미 아는 함수를 조금 밀거나 뒤집거나 늘려서 새 함수를 만들 수 있고, 두 함수를 더하고 빼고 곱하고 나눠서도 만들 수 있어요. 그리고 이 절의 주인공, 한 함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 연달아 넣는 합성이 있어요.
- 그래프 변환 — 평행이동, 대칭(뒤집기), 확대·축소
- 함수의 사칙연산 — f + g, f - g, fg, f/g
- 합성함수 (f \circ g)(x) = f(g(x)) — 함수를 파이프처럼 연결하기
먼저 알아야 할 것
개념 설명
그래프 변환
익숙한 함수 y = f(x)의 그래프를 통째로 움직이는 방법이에요. 크게 세 가지가 있어요.
평행이동(shift): 그래프를 위아래나 좌우로 미는 거예요. f(x) + c는 위로 c만큼, f(x) - c는 아래로 밀어요. 좌우는 살짝 헷갈리는데, f(x - c)가 오른쪽으로 c만큼이에요(부호와 방향이 반대라 주의해요).
대칭(reflection): 그래프를 축 기준으로 뒤집어요. -f(x)는 x축 기준으로 위아래 뒤집기, f(-x)는 y축 기준으로 좌우 뒤집기예요.
확대·축소(scaling): 그래프를 늘리거나 눌러요. c \cdot f(x)에서 c > 1이면 세로로 늘어나고, 0 < c < 1이면 세로로 납작해져요.
예를 들어 y = \sqrt{x}를 오른쪽으로 2 밀고 위로 1 올리면 y = \sqrt{x - 2} + 1이 돼요. 모양은 그대로, 위치만 바뀐 거죠.
합성함수
합성은 함수를 연달아 적용하는 거예요. 먼저 g에 x를 넣어 g(x)를 얻고, 그 결과를 다시 f에 넣어요. 이걸 (f \circ g)(x) = f(g(x))로 써요.
파이프라인으로 보면 이해가 쉬워요. x가 첫 번째 상자 g를 통과하고, 거기서 나온 값이 두 번째 상자 f로 들어가서 최종 출력이 나오는 구조예요.
예를 들어 f(x) = x^2, g(x) = x + 3이면, (f \circ g)(x)는 먼저 3을 더한 뒤 제곱하니까 (x + 3)^2이에요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
f(x) = \sqrt{x}, g(x) = x^2 + 1일 때 (f \circ g)(2)를 계산해 봅시다.
- 안쪽 먼저: g(2) = 2^2 + 1 = 5. 입력 2를 g에 넣어 5를 얻어요.
- 그 값을 바깥으로: f(g(2)) = f(5) = \sqrt{5}. 5를 f에 넣어 \sqrt{5}가 나와요.
- 일반식으로도 써 두면 (f \circ g)(x) = f(x^2 + 1) = \sqrt{x^2 + 1}이에요. 여기에 x = 2를 넣으면 \sqrt{5}로 위와 똑같죠.
순서를 바꾼 (g \circ f)(2)도 해볼까요. f(2) = \sqrt{2}, 그다음 g(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 + 1 = 3. 결과가 \sqrt{5}가 아니라 3이에요. 순서가 다르면 답도 달라져요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 아는 함수를 변환(평행이동·대칭·확대축소)하거나 사칙연산해서 새 함수를 만들 수 있어요.
- 합성 (f \circ g)(x) = f(g(x))는 함수를 파이프처럼 연달아 적용하는 거예요 — 안쪽 g 먼저, 바깥 f 나중에.
- 순서가 중요해요: f \circ g \neq g \circ f.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 2.5 연쇄법칙(chain rule)이 바로 이 합성함수를 미분하는 방법이에요. 신경망 학습(역전파)도 층층이 쌓인 합성함수를 연쇄법칙으로 미분하는 것이라, 이 절의 감각이 그대로 이어져요.