한눈에 보기
지금까지 곡선은 대부분 y = f(x) 꼴이었어요 — x를 넣으면 y가 딱 하나 나오는 그래프죠. 그런데 세상엔 그렇게 못 그리는 곡선이 많아요. 원, 나선, 8자 모양 고리처럼 한 x에 y가 여러 개 걸리는 곡선이요. 이럴 때 쓰는 게 매개변수 방정식(parametric equations)이에요. 좌표 x와 y를 각각 제3의 변수 t로 따로 적는 거예요.
- x = f(t), y = g(t) — 시간 t가 흐르면 점 (x, y)가 곡선을 그려요
- y = f(x)로 못 쓰는 곡선(원·나선·고리)도 표현할 수 있어요
- 곡선을 도는 방향(향)과 매개변수를 없애 원래 식으로 되돌리는 법
먼저 알아야 할 것
개념 설명
매개변수로 곡선 그리기
곡선 위의 점 (x, y)를 한꺼번에 정하는 대신, x와 y를 각각 따로 제3의 변수로 적어요.
여기서 t를 매개변수(parameter)라고 해요. t를 시간이라고 생각하면 편해요. t가 흘러가면 점 (x, y) = (f(t), g(t))가 평면 위를 움직이고, 그 자취가 곡선이 되는 거예요. 값 t 하나에 점 하나가 대응하죠.
이 방식의 장점은, y가 x의 함수일 필요가 전혀 없다는 거예요. 한 x 위에 곡선이 두 번 지나가도(원의 위·아래처럼) 아무 문제 없어요. t가 다르면 다른 순간이니까요.
y = f(x)로 못 그리는 곡선
원을 생각해 봐요. x^2 + y^2 = 1은 한 x에 y가 위·아래 둘이라 y = f(x) 하나로는 못 적어요. 하지만 매개변수로는
한 줄로 깔끔해요. t가 0에서 2\pi까지 가면 점이 원을 한 바퀴 돌죠. 나선(빙글빙글 감기며 밖으로 퍼지는 곡선)처럼 한 x에 y가 수없이 걸리는 곡선이나, 8자 고리처럼 자기 자신과 겹치는 곡선도, 매개변수로는 자연스럽게 적을 수 있어요.
방향 — 곡선을 어느 쪽으로 도나
매개변수 곡선에는 y = f(x)에 없던 정보가 하나 더 있어요. 바로 도는 방향이에요. t가 커질수록 점이 어느 쪽으로 움직이는지죠. 원을 예로 들면, x = \cos t, y = \sin t는 t가 커질 때 시계 반대 방향으로 돌아요. 화살표를 곡선에 얹어 이 향을 표시하곤 해요. 같은 모양이라도 도는 방향이 다르면 다른 매개변수 곡선이에요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
x = \cos t, y = \sin t (0 \le t \le 2\pi)가 그리는 곡선을 손으로 따라가 봅시다.
- 값 몇 개를 찍어봐요. t = 0이면 (\cos 0, \sin 0) = (1, 0). t = \tfrac{\pi}{2}이면 (0, 1). t = \pi이면 (-1, 0). t = \tfrac{3\pi}{2}이면 (0, -1).
- 이 점들을 순서대로 이으면, 오른쪽 (1,0)에서 출발해 위 (0,1) → 왼쪽 (-1,0) → 아래 (0,-1)로 돌아요. 즉 시계 반대 방향으로 원을 한 바퀴 도는 거죠.
- 매개변수를 없애 원래 식으로 돌아가 봐요. \cos^2 t + \sin^2 t = 1이라는 항등식을 쓰면 x^2 + y^2 = 1. 반지름 1인 단위원이 맞네요.
이렇게 t를 소거하면 익숙한 x-y 식이 나와요. 다만 그 순간, t가 담고 있던 방향과 출발점 정보는 사라져요 — 식 x^2 + y^2 = 1만 보면 어느 쪽으로 도는지 알 수 없죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 매개변수 방정식은 x = f(t), y = g(t)처럼 좌표를 제3의 변수 t로 따로 적는 방식이에요.
- y = f(x)로 못 그리는 원·나선·고리도 표현할 수 있고, 도는 방향이라는 정보까지 담아요.
- t를 소거하면 익숙한 x-y 식으로 돌아오지만, 방향·출발점 정보는 사라져요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 10.2에서 매개변수 곡선의 기울기·길이를 미적분으로 다루고, 13장 벡터함수에서 이 아이디어가 공간의 곡선 \mathbf{r}(t)로 확장돼요 — 움직이는 점의 위치·속도·가속도를 한꺼번에 다루는 도구가 되죠.
연습문제
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10.1 매개방정식으로 정의된 곡선 · 권장문제 풀이
해설 · 📄 교재 p.700
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문제 1. 매개변수 값 t = -2, -1, 0, 1, 2 에 대해 곡선 x = t^2 + t, y = 3^{t+1} 위의 점 (x, y) 를 구하세요.
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각 t 를 두 식에 그대로 대입해요.
- t = -2: x = 4 - 2 = 2, y = 3^{-1} = \frac{1}{3} → 점 \left(2, \ \frac{1}{3}\right)
- t = -1: x = 1 - 1 = 0, y = 3^{0} = 1 → 점 (0, 1)
- t = 0: x = 0 + 0 = 0, y = 3^{1} = 3 → 점 (0, 3)
- t = 1: x = 1 + 1 = 2, y = 3^{2} = 9 → 점 (2, 9)
- t = 2: x = 4 + 2 = 6, y = 3^{3} = 27 → 점 (6, 27)
t 가 커질수록 y 가 지수적으로 아주 빠르게 커지는 것을 볼 수 있어요.
문제 3. 점을 찍어 곡선 x = 1 - t^2, y = 2t - t^2, -1 \le t \le 2 를 그리고, t 가 커지는 방향을 화살표로 나타내세요.
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여러 t 값에서 점을 계산해요.
| t | x = 1 - t^2 | y = 2t - t^2 | 점 |
|---|---|---|---|
| -1 | 0 | -3 | (0, -3) |
| -0.5 | 0.75 | -1.25 | (0.75, -1.25) |
| 0 | 1 | 0 | (1, 0) |
| 0.5 | 0.75 | 0.75 | (0.75, 0.75) |
| 1 | 0 | 1 | (0, 1) |
| 2 | -3 | 0 | (-3, 0) |
x 는 t = 0 일 때 가장 큰 값 1 이 되고, t 가 그보다 커지거나 작아지면 줄어들어요. 그래서 곡선은 오른쪽 끝 (1, 0) 에서 가장 볼록하고 왼쪽으로 열린 포물선 모양이에요.
t 가 -1 에서 2 로 커지는 방향은 (0, -3) \to (1, 0) \to (0, 1) \to (-3, 0) 이에요. 아래쪽에서 출발해 오른쪽으로 볼록하게 나왔다가 왼쪽 위로 올라가는 방향이에요.
확인: 매개변수를 소거하면 2t = y - x + 1 과 t^2 = 1 - x 에서
가 되어 정말 포물선이에요.
문제 11. (a) 점을 찍어 곡선 x = \sqrt{t}, y = 1 - t 를 그리고 t 가 커지는 방향을 나타내세요. (b) 매개변수를 소거해 직교좌표 방정식을 구하세요.
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(a) x = \sqrt{t} 이므로 t \ge 0 이고 x \ge 0 이에요. 점을 찍어 봐요.
| t | x = \sqrt{t} | y = 1 - t | 점 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | (0, 1) |
| 1 | 1 | 0 | (1, 0) |
| 2 | \sqrt{2} \approx 1.41 | -1 | (1.41, -1) |
| 4 | 2 | -3 | (2, -3) |
t 가 커지면 x 는 커지고 y 는 작아지니 오른쪽 아래로 내려가는 방향이에요.
(b) x = \sqrt{t} 에서 양변을 제곱하면 t = x^2 이에요(단 x \ge 0). 이걸 y 에 넣으면
이라서 꼭짓점이 (0, 1) 인 위로 볼록한(아래로 열린) 포물선의 오른쪽 절반이에요.
문제 13. x = 3\cos t, y = 3\sin t, 0 \le t \le \pi. (a) 매개변수를 소거해 직교좌표 방정식을 구하세요. (b) 곡선을 그리고 t 가 커지는 방향을 화살표로 나타내세요.
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(a) 두 식을 각각 제곱해서 더해요.
이라서 반지름이 3 인 원 x^2 + y^2 = 9 예요.
(b) 0 \le t \le \pi 에서는 y = 3\sin t \ge 0 이라 위쪽 반원만 그려져요. t = 0 에서 (3, 0), t = \frac{\pi}{2} 에서 (0, 3), t = \pi 에서 (-3, 0) 이에요. 오른쪽 (3, 0) 에서 꼭대기 (0, 3) 을 지나 왼쪽 (-3, 0) 으로 가니 반시계 방향이에요.
문제 19. x = \ln t, y = \sqrt{t}, t \ge 1. (a) 매개변수를 소거해 직교좌표 방정식을 구하세요. (b) 곡선을 그리고 t 가 커지는 방향을 나타내세요.
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(a) x = \ln t 에서 t = e^{x} 예요. 이걸 y 에 넣으면
이에요. t \ge 1 이므로 x = \ln t \ge 0 이고 y = \sqrt{t} \ge 1 이에요.
(b) 곡선은 x \ge 0 부분의 지수함수 y = e^{x/2} 예요. t = 1 에서 시작점 (0, 1) 이고, t 가 커지면 x 와 y 가 모두 커지니 오른쪽 위로 올라가는 방향이에요.
문제 21. x = \sin^2 t, y = \cos^2 t. (a) 매개변수를 소거해 직교좌표 방정식을 구하세요. (b) 곡선을 그리고 방향을 나타내세요.
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(a) 두 식을 더하면
이라서 직선 y = 1 - x 예요. 다만 \sin^2 t 와 \cos^2 t 는 항상 0 과 1 사이라서 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 이에요. 즉 두 점 (0, 1) 과 (1, 0) 을 잇는 선분이에요.
(b) t = 0 에서 (0, 1), t = \frac{\pi}{2} 에서 (1, 0), t = \pi 에서 다시 (0, 1) 이에요. 그래서 입자는 이 선분 위를 (0, 1) 과 (1, 0) 사이에서 왔다 갔다 반복해요. 한 방향으로만 가지 않아요.
문제 27. t 가 주어진 구간에서 변할 때 위치 (x, y) 를 갖는 입자의 운동을 설명하세요. x = 5\sin t, y = 2\cos t, -\pi \le t \le 5\pi.
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먼저 자취를 알아봐요. 두 식을 정리해 제곱해서 더하면
이라서 가로 반지름 5, 세로 반지름 2 인 타원이에요.
구간의 길이는 5\pi - (-\pi) = 6\pi 인데, \sin 과 \cos 의 주기가 2\pi 이므로 6\pi \div 2\pi = 3, 즉 타원을 세 바퀴 돌아요.
방향을 보면 t = -\pi 에서 (0, -2)[맨 아래], t = -\frac{\pi}{2} 에서 (-5, 0)[왼쪽], t = 0 에서 (0, 2)[맨 위], t = \frac{\pi}{2} 에서 (5, 0)[오른쪽] 이에요. 아래 → 왼쪽 → 위 → 오른쪽 순서라 시계 방향이에요.
정리하면, 입자는 점 (0, -2) 에서 출발해 타원을 시계 방향으로 세 바퀴 돌고, t = 5\pi 에서 다시 (0, -2) 로 돌아와요.
문제 30. 각 쌍의 그래프 x = f(t), y = g(t) (a)~(d)를 매개곡선 I~IV 중 하나와 짝지으세요. 이유도 함께 설명하세요.
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각 쌍에서 x = f(t) 와 y = g(t) 가 몇 번 진동하는지, 그리고 곡선이 자기 자신과 교차하는지를 기준으로 맞춰요.
(a) → III. f 는 봉우리 하나짜리(한 번 볼록하게 올라갔다 내려오는) 모양이고, g 는 사인처럼 0 \to 1 \to 0 \to -1 \to 0 으로 한 주기 진동해요. g = 0 이 되는 순간이 x = 1 에서 두 번 생겨서 곡선이 점 (1, 0) 에 한 점으로 모였다가 (2, 0) 까지 잎사귀 모양으로 벌어지고 x-축 대칭이에요. 이게 III(점 (1, 0) 에서 뾰족하게 모인 잎 모양)이에요.
(b) → I. f 는 두 번, g 는 세 번 진동해서 진동이 가장 많아요. 서로 다른 진동수가 겹치면 여러 번 교차하는 복잡한 리사주 곡선이 되는데, 이게 I 이에요.
(c) → IV. f 는 위아래로 한 번 크게 진동(원점 대칭에 가까움)하고, g 는 봉우리 하나(y \ge 0)예요. 점을 찍어 보면 곡선이 대략 (0, 0.6) 부근에서 자기 자신과 한 번 교차해서 8자(나비) 모양이 돼요. 이게 IV 예요.
(d) → II. 남은 것은 II 예요. g 가 가운데에서만 뾰족하게 솟는 스파이크라 곡선이 자기 교차 없이 한 번 도는 닫힌 고리(둥근 삼각형) 를 그려요. 이게 II 예요.
문제 34. 다음 매개방정식을 그래프 I~VI 중 하나와 짝지으세요. 이유도 함께 설명하세요. (a) x = t^4 - t + 1, y = t^2 (b) x = t^2 - 2t, y = \sqrt{t} (c) x = t^3 - 2t, y = t^2 - t (d) x = \cos 5t, y = \sin 2t (e) x = t + \sin 4t, y = t^2 + \cos 3t (f) x = t + \sin 2t, y = t + \sin 3t
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y 의 부호 범위, 곡선이 갇혀 있는지(유계), 자기 교차 여부, 매끄러움을 기준으로 맞춰요.
(a) → V. y = t^2 \ge 0 이라 위쪽 절반에만 있어요. t 와 -t 는 같은 y 를 주지만 x = t^4 - t + 1 값은 서로 달라서, 매끄러운 두 갈래가 오른쪽 위로 뻗어요. 이게 V 예요.
(b) → I. t \ge 0 이고 y = \sqrt{t} \ge 0 이에요. x = (t - 1)^2 - 1 이라 원점에서 출발해 x = -1 까지 왼쪽으로 갔다가 다시 오른쪽 위로 가요. 원점에 닿는 위쪽 절반 곡선 I 이에요.
(c) → II. 다항식이라 매끄럽고, 자기 자신과 한 번 교차하는 고리가 생겨요. 네 사분면에 걸친 S자에 고리가 달린 II 예요.
(d) → VI. x = \cos 5t, y = \sin 2t 모두 [-1, 1] 에 갇힌 리사주 곡선이라 여러 번 교차하는 촘촘한 무늬 VI 이에요.
(e) → IV. y \approx t^2 이라 위로 열린 포물선 모양인데, 삼각함수 항 때문에 잔물결이 지고 아래쪽에 작은 고리가 생겨요. 이게 IV 예요.
(f) → III. x \approx t, y \approx t 라 대각선 y = x 를 따라가되 잔물결과 작은 고리가 있는 III 이에요.
문제 41. 원 x^2 + (y - 1)^2 = 4 를 따라 아래처럼 움직이는 입자의 경로를 매개방정식으로 나타내세요. (a) (2, 1) 에서 출발해 시계 방향으로 한 바퀴 (b) (2, 1) 에서 출발해 반시계 방향으로 세 바퀴 (c) (0, 3) 에서 출발해 반시계 방향으로 반 바퀴
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원의 중심은 (0, 1), 반지름은 2 예요. 기본형은
이고, 이건 (2, 1) 에서 출발해 반시계 방향으로 도는 한 바퀴(0 \le t \le 2\pi)예요.
(a) 시계 방향은 \sin 앞 부호만 바꾸면 돼요.
t = 0 에서 (2, 1) 이고, 조금 지나면 y 가 줄어 아래쪽으로 내려가니 시계 방향이 맞아요.
(b) 반시계로 세 바퀴는 t 의 범위를 세 배로 늘려요.
(c) 출발점 (0, 3) 은 원의 꼭대기예요. 여기서 반시계로 반 바퀴 돌도록 위상을 맞추면
이에요. t = 0 에서 (0, 3), t = \pi 에서 (0, -1) 로 바닥까지 가요. 출발 직후 x = -2\sin t < 0 이라 왼쪽으로 돌아 반시계 방향이 맞아요.
문제 57(a). 매개곡선 x = 1 - t^2, y = t - t^3 이 자기 자신과 만나는 점과 그때의 t 값을 구하세요.
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서로 다른 두 값 t_1 \ne t_2 가 같은 점을 주려면 x 와 y 가 모두 같아야 해요.
x 가 같으려면
이에요(t_1 \ne t_2 이므로). 이제 t_2 = -t_1 을 y 에 넣으면
이고, y(t_1) = y(t_2) 여야 하니 y(t_1) = -y(t_1), 즉 y(t_1) = 0 이에요. 따라서
t_1 = 0 은 t_2 = 0 이라 제외하고, t_1 = 1, t_2 = -1 이 남아요.
검산: t = 1 이면 (x, y) = (1 - 1, \ 1 - 1) = (0, 0), t = -1 이면 (x, y) = (1 - 1, \ -1 + 1) = (0, 0) 으로 같은 점이에요.
그러므로 곡선은 원점 (0, 0) 에서 자기 자신과 만나고, 그때의 매개변수는 t = 1 과 t = -1 이에요.