한눈에 보기
원뿔을 평면으로 비스듬히 자르면 잘린 단면의 모양이 각도에 따라 달라져요. 이렇게 나오는 곡선이 포물선·타원·쌍곡선이고, 셋을 묶어 원뿔곡선(conic sections)이라고 불러요. 각각은 "어떤 점(초점)까지의 거리"라는 조건으로 깔끔하게 정의되고, 좌표 위에 놓으면 예쁜 표준방정식이 나와요.
- 포물선 — 초점 하나와 준선(직선)에서 같은 거리인 점들
- 타원 — 두 초점까지 거리의 합이 일정한 점들
- 쌍곡선 — 두 초점까지 거리의 차가 일정한 점들
먼저 알아야 할 것
개념 설명
포물선
포물선(parabola)은 한 점(초점, focus)과 한 직선(준선, directrix)에서 거리가 같은 점들의 모임이에요. 초점이 (0, p), 준선이 y = -p일 때, 꼭짓점은 원점이고 위로 열린 그릇 모양이 돼요. 초점 반사 성질이 핵심인데, 축에 나란히 들어온 빛이 곡면에 튕기면 모두 초점 한 점으로 모여요. 위성접시가 딱 이 원리죠.
타원
타원(ellipse)은 두 초점까지 거리의 합이 일정한 점들이에요. 압정 두 개에 실을 걸고 팽팽하게 돌리면 그려지는 그 곡선이에요. 가장 긴 지름 방향을 장축, 짧은 쪽을 단축이라 하고, 원은 두 초점이 겹친 특수한 타원이에요. 한 초점에서 나온 빛은 곡면에 튕겨 다른 초점으로 모여요 — "속삭이는 회랑"이 이 성질이에요.
쌍곡선
쌍곡선(hyperbola)은 두 초점까지 거리의 차가 일정한 점들이에요. 서로 반대로 열린 두 갈래로 나뉘고, 멀어질수록 두 직선(점근선, asymptote)에 바짝 붙어요. 한 초점을 향해 오던 빛은 튕기면 마치 다른 초점에서 나온 것처럼 퍼져요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
타원 \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1의 초점과 꼭짓점을 구해 봅시다.
- 표준형과 비교: a^2 = 25, b^2 = 9이니 a = 5, b = 3이에요. 25 > 9라 장축이 x축 방향이에요.
- 꼭짓점: 장축 끝은 x축 위 (\pm a, 0) = (\pm 5, 0)이고, 단축 끝은 (0, \pm 3)이에요.
- 초점: c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16이니 c = 4. 초점은 x축 위 (\pm 4, 0)이에요.
정리하면 가로로 길쭉한 타원이고, 중심 원점에서 좌우로 4만큼 떨어진 두 점이 초점이에요. 이 두 초점까지 거리의 합은 어느 점에서 재도 항상 2a = 10이에요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 원뿔곡선 = 원뿔을 자른 단면. 포물선·타원·쌍곡선 셋 다 "초점까지의 거리"로 정의돼요.
- 표준형: 포물선 y^2 = 4px, 타원 \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1, 쌍곡선 \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1.
- 초점 거리 c: 타원은 \sqrt{a^2 - b^2}, 쌍곡선은 \sqrt{a^2 + b^2}. 부호 방향이 반대예요.
- 세 곡선 모두 초점 반사 성질이 있어 위성접시·궤도·렌즈에 쓰여요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 10.6에서 원뿔곡선을 극좌표로 한 방정식에 통합하고, 12.6에서는 이 곡선들을 3차원으로 확장한 이차곡면을 다뤄요.