한눈에 보기
수열(sequence)은 번호를 매긴 무한 목록이에요. a_1, a_2, a_3, \dots처럼 첫째 항, 둘째 항, … 이 끝없이 이어지죠. 이걸 \{a_n\}이라고 써요. 여기서 가장 중요한 질문은 "번호를 계속 키우면 값이 어디로 가나요?"예요. 어떤 한 값 L에 점점 가까워지면 수렴(converge)한다고 하고, 그렇지 않으면 발산(diverge)한다고 해요.
- 수열 \{a_n\} — 자연수에 값을 대응시킨 무한 목록
- 극한 \lim_{n\to\infty} a_n = L — 항이 향하는 값
- 수렴하면 안정, 발산하면 안 정착
먼저 알아야 할 것
개념 설명
수열 극한
수열 \{a_n\}의 항을 n이 커지는 순서로 늘어놓았을 때, 그 값이 어떤 수 L에 원하는 만큼 가까이 계속 머무르면 "\{a_n\}이 L로 수렴한다"고 하고 \lim_{n\to\infty} a_n = L로 써요. 예를 들어 a_n = \dfrac{1}{n}은 1, \tfrac12, \tfrac13, \tfrac14, \dots이라서 0으로 수렴해요. 반대로 a_n = n은 끝없이 커지니 발산하고, a_n = (-1)^n은 -1과 1을 오가며 한 값에 정착하지 못하니 이것도 발산이에요.
극한을 매번 정의로 따지긴 번거로워요. 그래서 세 가지 도구를 써요.
극한 법칙: 함수에서 쓰던 것과 똑같아요. 두 수열이 각각 수렴하면 그 합·차·곱·(분모 0 아닌) 몫의 극한은 각 극한을 그대로 연산한 값이에요. 덕분에 복잡한 식도 조각으로 쪼개 계산할 수 있죠.
조임정리(squeeze theorem): 어떤 수열을 위아래에서 감싼 두 수열이 같은 값 L로 수렴하면, 가운데 낀 수열도 L로 수렴해요. 부호가 왔다 갔다 하는 \dfrac{(-1)^n}{n}처럼 직접 다루기 껄끄러운 경우에 유용해요 — -\tfrac1n과 \tfrac1n 사이에 끼우면 둘 다 0이니 가운데도 0이죠.
단조수렴정리(monotone convergence theorem): 계속 커지기만(또는 작아지기만) 하면서 어떤 한계선을 넘지 않는 수열은 반드시 수렴해요. 값이 뭔지 몰라도 수렴한다는 사실 자체를 보장해준다는 게 핵심이에요. 반복 알고리즘이 "값이 계속 좋아지고 상한이 있으면 멈춘다"고 말할 때 바로 이 정리를 쓰는 거예요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
a_n = \dfrac{3n}{n+1}의 극한을 구해봅시다.
- 그대로 n\to\infty를 넣으면 분자·분모 둘 다 무한대라 판단이 안 서요(\infty/\infty 꼴).
- 분자·분모를 가장 큰 항 n으로 나눠요.
- 이제 n\to\infty이면 \dfrac1n \to 0이니, 분모는 1 + 0 = 1로 가요(극한 법칙).
- 따라서
값이 3으로 수렴하죠. 실제로 a_1 = 1.5, a_9 = 2.7, a_{99} = 2.97처럼 점점 3에 붙어가요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 수열 \{a_n\}은 번호 매긴 무한 목록이고, 핵심 질문은 "n이 커지면 어디로 가나?"예요.
- \lim_{n\to\infty} a_n = L이면 수렴(한 값에 정착), 그런 L이 없으면 발산이에요.
- 판별 도구 셋: 극한 법칙(조각내 계산), 조임정리(위아래로 가둬 잡기), 단조수렴정리(단조+유계면 수렴 보장).
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 11.2에서는 수열의 항을 끝없이 더하는 급수(series)를 다뤄요. "부분합이 이루는 수열이 수렴하나?"라는 물음으로 돌아오니, 이 절의 수렴 감각이 그대로 이어져요.
Exercises
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11.1 수열 · 권장문제 풀이
해설 · 📄 교재 p.762
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문제 77. 어떤 수열 \lbrace a_n \rbrace 이 감소수열이고 모든 항이 숫자 5 와 8 사이에 놓여 있다고 알고 있어요. 이 수열이 극한을 가지는 이유를 설명하고, 그 극한값에 대해 무엇을 말할 수 있는지 답하세요.
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핵심 도구는 단조수열 정리예요. "위나 아래로 막혀 있으면서(유계) 한 방향으로만 움직이는(단조) 수열은 반드시 수렴한다"는 정리예요.
1단계 — 조건 정리하기. 모든 항이 5 와 8 사이에 있다는 말은
이라는 뜻이에요. 즉 이 수열은 아래로도 위로도 막혀 있는 유계 수열이에요. 그리고 문제에서 감소수열이라고 주어졌으니 단조예요.
2단계 — 수렴 이유. 감소하면서 아래로 5 라는 벽에 막혀 있으니, 항들이 무한정 내려갈 수 없어요. 아래로 내려가되 5 밑으로는 못 가므로 어떤 값으로 점점 몰려가게 돼요. 단조수열 정리에 의해 이 수열은 수렴해요. 극한값을 L 이라 부를게요.
3단계 — 극한값에 대해 말할 수 있는 것. 감소수열이라 모든 항이 첫 항 a_1 이하이고, a_1 \le 8 이므로 극한도 8 을 넘을 수 없어요. 또 모든 항이 5 이상이므로 극한도 5 밑으로 내려갈 수 없어요. 따라서
이에요. 즉 극한값의 정확한 수치는 알 수 없지만, 반드시 5 이상 8 미만 범위 안에 있다는 것은 확실히 말할 수 있어요. (감소수열이 계속 내려가므로 극한은 8 에 도달하지 못해요.)
문제 79. 다음 수열이 증가하는지, 감소하는지, 단조가 아닌지 판정하고, 유계인지도 판정하세요.
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1단계 — 몇 항 적어 보기. a_1 = \frac{1}{5},\ a_2 = \frac{1}{7},\ a_3 = \frac{1}{9}, \dots 로 점점 작아지는 모습이에요. 감소를 의심할 수 있어요.
2단계 — 감소 증명. n 이 하나 커지면 분모가 커져요. 분모
이 더 커지므로 분수 전체는 더 작아져요. 따라서
이 성립하고, 이 수열은 감소수열(단조)이에요.
3단계 — 유계 판정. 분모 2n+3 은 항상 양수라서 모든 항이 양수예요. 즉 아래로 0 에 막혀 있어요. 또 감소수열이라 가장 큰 항이 첫 항 a_1 = \frac{1}{5} 예요. 정리하면
이므로 위아래로 모두 막힌 유계 수열이에요.
결론: 감소수열이고 유계예요. (참고로 감소 + 아래로 유계이므로 단조수열 정리에 의해 수렴하며, 극한은 0 이에요.)
문제 83. 다음 수열이 증가하는지, 감소하는지, 단조가 아닌지 판정하고, 유계인지도 판정하세요.
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a_n = 3 - \dfrac{2n}{e^n} 이에요. 3 에서 \dfrac{2n}{e^n} 을 빼는 구조라, 빼는 양이 어떻게 변하는지가 관건이에요.
1단계 — 대응 함수의 도함수 보기. 정수 n 대신 실수 x 로 바꾼 함수
를 미분해요. 곱의 미분으로 \dfrac{d}{dx}\left( x e^{-x} \right) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1-x) 이므로
이에요. e^{-x} > 0 이므로 부호는 x-1 이 결정해요. x \ge 1 이면 x - 1 \ge 0 이라서 f'(x) \ge 0 이에요. 즉 f 는 x \ge 1 에서 증가해요.
2단계 — 증가 결론. n \ge 1 이므로 a_n = f(n) 은 증가수열이에요. 실제로 a_1 \approx 2.264,\ a_2 \approx 2.459,\ a_3 \approx 2.701, \dots 처럼 점점 커져요.
3단계 — 유계 판정. 빼는 양 \dfrac{2n}{e^n} 은 항상 양수이므로
이라서 위로 3 에 막혀 있어요. 또 증가수열이라 가장 작은 항이 첫 항 a_1 = 3 - \dfrac{2}{e} \approx 2.264 이므로 아래로도 막혀 있어요. 정리하면
으로 유계예요.
결론: 증가수열이고 유계예요. (증가 + 위로 유계이므로 수렴하며, 지수가 다항식보다 훨씬 빨리 커져 \dfrac{2n}{e^n} \to 0 이니 극한은 3 이에요.)
문제 87. 다음과 같이 정의된 수열
이 증가하고 모든 n 에 대해 a_n < 3 임을 보이세요. 이를 통해 \lbrace a_n \rbrace 이 수렴함을 유도하고 극한을 구하세요.
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점화식으로 정의된 수열이라, 수학적 귀납법으로 "증가"와 "위로 유계"를 보인 뒤 단조수열 정리를 써요.
1단계 — 감 잡기. a_1 = 1,\ a_2 = 3 - \frac{1}{1} = 2,\ a_3 = 3 - \frac{1}{2} = 2.5,\ a_4 = 2.6, \dots 로 점점 커지면서 3 밑에 머물러요.
2단계 — 모든 항이 1 \le a_n < 3 (귀납법). 시작은 a_1 = 1 로 성립해요. 1 \le a_k < 3 이라고 가정하면 a_k \ge 1 에서 0 < \dfrac{1}{a_k} \le 1 이므로
이에요. 따라서 1 \le a_{k+1} < 3 이고, 귀납법으로 모든 n 에 대해 1 \le a_n < 3 이에요. 특히 모든 항이 양수이고 3 보다 작아요.
3단계 — 증가 증명 (귀납법). a_{n+1} > a_n 을 보일게요. 시작은 a_2 = 2 > 1 = a_1 로 참이에요. 이제 a_{k+1} > a_k (둘 다 양수)라고 가정하면, 양수끼리는 크기가 클수록 역수가 작아지므로
이에요. 양변에 음수를 붙여 부등호를 뒤집고 3 을 더하면
이에요. 따라서 귀납법으로 모든 n 에서 증가해요.
4단계 — 수렴 유도. 증가하면서 위로 3 에 막혀 있으니, 단조수열 정리에 의해 \lbrace a_n \rbrace 은 수렴해요. 극한을 L 이라 할게요.
5단계 — 극한값 구하기. n \to \infty 일 때 a_n \to L 이면 a_{n+1} \to L 이기도 하므로, 점화식 양변에 극한을 취하면
이에요. 양변에 L 을 곱하면 L^2 = 3L - 1, 즉
이에요. 두 근은 대략 2.618 과 0.382 예요. 그런데 이 수열은 a_2 = 2 부터 증가하므로 극한이 2 보다 작을 수 없어요. 작은 근 \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0.382 는 버리고
이 답이에요.
검산: \dfrac{1}{L} = \dfrac{2}{3+\sqrt{5}} = \dfrac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \dfrac{2(3-\sqrt{5})}{4} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} 이므로 3 - \dfrac{1}{L} = 3 - \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} = L 로 점화식을 만족해요.