넓이가 1 인 직사각형들을 곡선 y = f(x) 위에 얹어서 비교하는 문제예요. 폭이 1 인 직사각형의 넓이는 그 높이와 같으니, 각 a_i = f(i) 는 밑변이 1 인 직사각형 한 개의 넓이로 볼 수 있어요.

왼쪽 끝 직사각형 (과대평가). 구간 [i,\, i+1] 위에 높이 f(i) = a_i 인 직사각형을 세우면, i = 1 부터 5 까지 다섯 개가 [1, 6] 을 덮어요. 그 넓이 합이

예요. f 가 감소하므로 각 구간에서 왼쪽 끝 높이가 가장 크고, 직사각형이 곡선 위로 삐져나와요. 따라서 이 합은 실제 넓이보다 커요.

오른쪽 끝 직사각형 (과소평가). 이번엔 구간 [i-1,\, i] 위에 높이 f(i) = a_i 인 직사각형을 세우면, i = 2 부터 6 까지가 역시 [1, 6] 을 덮어요.

f 가 감소하므로 오른쪽 끝 높이가 가장 작고, 직사각형이 곡선 아래에 쏙 들어가요. 따라서 이 합은 실제 넓이보다 작아요.

정리. 두 부등식을 합치면 작은 것부터 큰 순서는

검산. 예를 들어 f(x) = 1/x 로 확인해 볼게요. \int_1^6 \frac{1}{x}\, dx = \ln 6 \approx 1.792 예요. 왼쪽 합은 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 \approx 2.283, 오른쪽 합은 \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac16 \approx 1.450 이에요. 1.450 \le 1.792 \le 2.283 으로 순서가 정확히 맞아요.

일반항을 다시 쓰면 n^{-0.3} = \dfrac{1}{n^{0.3}} 이에요. f(x) = x^{-0.3} 로 두면 x \ge 1 에서 양수이고 연속이며 감소하니 적분판정법을 쓸 수 있어요.

지수 0.7 > 0 이라 t^{0.7} \to \infty 예요. 따라서

적분이 발산하므로 적분판정법에 의해 급수도 발산해요.

검산. 이 급수는 p = 0.3 인 p-급수예요. p = 0.3 \le 1 이므로 p-급수 판정( p \le 1 이면 발산)에 따라 발산이 맞아요.

f(x) = \dfrac{1}{(3x-1)^4} 로 두면 x \ge 1 에서 분모가 양수이고 점점 커지므로, f 는 양수이고 연속이며 감소해요. 적분판정법을 적용해요.

u = 3x - 1 로 치환하면 du = 3\, dx, 즉 dx = \tfrac13\, du 예요. x = 1 일 때 u = 2, x \to \infty 일 때 u \to \infty 이므로

t \to \infty 일 때 \dfrac{1}{3t^3} \to 0 이므로

적분값이 유한하므로 적분이 수렴하고, 따라서 급수도 수렴해요.

검산. 첫 몇 항을 더해 보면 \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{5^4} + \dfrac{1}{8^4} + \cdots \approx 0.0625 + 0.0016 + \cdots 로 아주 빠르게 작아져요. 분모가 n^4 규모로 커지니 p = 4 > 1 인 p-급수처럼 수렴하는 게 자연스러워요.

이건 지수가 p = \sqrt{2} 인 p-급수예요. p-급수 판정법은 다음과 같아요.

여기서 \sqrt{2} \approx 1.414 이고 \sqrt{2} > 1 이므로 이 급수는 수렴해요.

검산. \sqrt{2} = 1.414\ldots > 1 은 확실해요( (\sqrt2)^2 = 2 > 1 ). 지수가 1 보다 크므로 조화급수 \sum \tfrac1n ( p=1, 발산)보다 항이 더 빨리 줄어들어 수렴하는 게 맞아요.

일반항은 n^{-0.9999} = \dfrac{1}{n^{0.9999}} 이라 지수 p = 0.9999 인 p-급수예요. 시작이 n = 3 이지만, 앞의 유한한 몇 항을 빼거나 더해도 수렴·발산 여부는 바뀌지 않으니 p-급수 판정을 그대로 쓸 수 있어요.

p = 0.9999 는 1 보다 아주 조금 작아요.

p \le 1 이므로 이 급수는 발산해요.

검산. 1 에 매우 가깝지만 어쨌든 p < 1 이에요. 적분으로도 확인하면 \int_3^{\infty} x^{-0.9999}\, dx = \left[ \dfrac{x^{0.0001}}{0.0001} \right]_3^{\infty} 인데, 지수 0.0001 > 0 이라 x^{0.0001} \to \infty 이므로 적분이 발산해요. 판정 결과와 일치해요.

분모를 완전제곱 꼴로 정리하면 계산이 깔끔해져요.

f(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2 + 1} 로 두면 x \ge 1 에서 양수이고 연속이며 감소해요. 적분판정법을 적용해요.

u = x + 1 로 치환하면 du = dx 이고, x = 1 일 때 u = 2, x \to \infty 일 때 u \to \infty 예요. \displaystyle\int \frac{du}{u^2 + 1} = \tan^{-1} u 이므로

\tan^{-1} 2 는 유한한 값이므로 적분값도 유한해요. 따라서 급수는 수렴해요.

검산. 수치로 \dfrac{\pi}{2} \approx 1.5708, \tan^{-1} 2 \approx 1.1071 이라 적분값이 약 0.4636 으로 유한해요. 또 분모가 n^2 규모로 커지니 p = 2 > 1 인 p-급수처럼 수렴하는 게 자연스러워요.

n = 2 부터 시작하는 이유는 \ln 1 = 0 이라 n = 1 에서 분모가 0 이 되기 때문이에요. f(x) = \dfrac{1}{x \ln x} 로 두면 x \ge 2 에서 양수이고 연속이며 감소하니 적분판정법을 써요.

u = \ln x 로 치환하면 du = \dfrac{1}{x}\, dx 예요. x = 2 일 때 u = \ln 2, x \to \infty 일 때 u \to \infty 이므로

적분이 발산하므로 급수도 발산해요.

검산. 치환 결과가 \displaystyle\int \frac{du}{u} 라는, 발산하는 대표적인 적분( \ln 이 무한대로 감)으로 바뀌었어요. 분모 n \ln n 이 n 보다는 크지만 \ln n 이 워낙 천천히 커져서, 조화급수처럼 발산을 막지 못해요.

적분판정법을 쓰려면 대응하는 함수가 양수이면서 감소해야 해요. 이 급수의 일반항이 그 조건을 만족하는지 살펴봐요.

\cos \pi n 을 정수 n 에 대해 계산하면 부호가 번갈아 나와요.

즉 \cos(\pi \cdot 1) = -1, \cos(\pi \cdot 2) = 1, \cos(\pi \cdot 3) = -1, \ldots 이라 일반항은

이 되어 양수와 음수가 번갈아 나타나요.

적분판정법은 함수 f 가 x \ge 1 에서 양수여야 한다는 전제 위에서 성립해요. 그런데 여기 대응하는 함수 f(x) = \dfrac{\cos \pi x}{\sqrt{x}} 는 \cos \pi x 때문에 양수와 음수를 오가고, 계속 진동해서 감소하지도 않아요. 전제 조건(양수·감소)을 어기므로 적분판정법을 적용할 수 없어요.

참고. 이렇게 부호가 번갈아 나오는 급수는 나중에 배우는 교대급수 판정법으로 다뤄요.

f(x) = x \left( 1 + x^2 \right)^p 로 두고 적분판정법을 적용해요. (수렴하려면 우선 항이 0 으로 가야 해요. n(1+n^2)^p 는 대략 n^{2p+1} 규모라 0 으로 가려면 p < -\tfrac12 이어야 하고, p \ge -\tfrac12 이면 발산판정법으로 바로 발산해요. p < -\tfrac12 이면 f'(x) = (1+x^2)^{p-1}\left[1 + (1+2p)x^2\right] 에서 1 + 2p < 0 이라 큰 x 에서 f' < 0, 즉 f 는 양수이고 감소하므로 적분판정법을 쓸 수 있어요.)

u = 1 + x^2 로 치환하면 du = 2x\, dx, 즉 x\, dx = \tfrac12\, du 예요. x = 1 일 때 u = 2, x \to \infty 일 때 u \to \infty 이므로

\displaystyle\int_2^{\infty} u^p\, du 는 u 에 대한 p-형 적분이에요. 이 적분은 지수가 p < -1 일 때만 수렴해요. (지수 p = -1 이면 \int \tfrac{du}{u} = \ln u 로 발산하고, p > -1 이면 u^{p+1} \to \infty 로 발산해요.)

t \to \infty 에서 t^{p+1} \to 0 이 되려면 p + 1 < 0, 즉 p < -1 이어야 해요. 따라서 급수는

일 때 수렴해요.

검산. 예를 들어 p = -2 이면 일반항은 \dfrac{n}{(1+n^2)^2} 인데, 큰 n 에서 대략 \dfrac{n}{n^4} = \dfrac{1}{n^3} 규모라 p = 3 > 1 처럼 수렴해요. 반대로 p = -1 이면 \dfrac{n}{1+n^2} \approx \dfrac{1}{n} 규모라 조화급수처럼 발산해요. 경계 p = -1 을 기준으로 갈리는 게 맞아요.

경우를 나눠서 살펴봐요. (참고로 n = 1 항은 \ln 1 = 0 이라 합에 영향을 주지 않아요.)

경우 1 — p \le 0. 이때 \dfrac{\ln n}{n^p} = n^{-p} \ln n 이고, -p \ge 0 이라 이 값은 n \to \infty 에서 0 으로 가지 않아요. 일반항이 0 으로 가지 않으면 발산 판정법에 의해 발산해요.

경우 2 — 0 < p \le 1. n \ge 3 에서 \ln n > 1 이므로

인데, 오른쪽 \displaystyle\sum \frac{1}{n^p} 는 p \le 1 이라 발산하는 p-급수예요. 더 큰 급수도 당연히 발산해요.

경우 3 — p > 1. f(x) = \dfrac{\ln x}{x^p} 로 두면 큰 x 에서 양수이고 감소하므로 적분판정법을 써요. 부분적분으로 u = \ln x, dv = x^{-p}\, dx 를 잡으면 v = \dfrac{x^{1-p}}{1-p} 이고

p > 1 이면 지수 1 - p < 0 이라 x \to \infty 에서 x^{1-p} \to 0 이고, x^{1-p} \ln x 도 (거듭제곱이 로그를 이기므로) 0 으로 가요. 남은 \displaystyle\int x^{-p}\, dx 도 p > 1 이라 유한하게 수렴해요. 따라서 전체 적분이 유한하고 급수는 수렴해요.

결론. 세 경우를 합치면 급수는

일 때만 수렴해요.

검산. p = 1 이면 \displaystyle\sum \frac{\ln n}{n} 인데, 교재 예제 4에서 이 급수가 발산함을 적분판정법으로 보였어요. 그러니 수렴 경계는 p = 1 을 넘어선 p > 1 이라는 결과와 잘 맞아요. 로그 \ln n 이 붙어도 p-급수의 경계 p = 1 은 그대로예요.