Hyeontae JoAjou University
Lecture · 11

11.6 비판정법과 근판정법

The Ratio and Root Tests

한눈에 보기

급수 \sum a_n이 수렴하는지 판정할 때, 항끼리 곱셈으로 만들어진 구조 — 계승 n!이나 지수 r^n 같은 것 — 이 있으면 앞뒤 항의 비율을 보는 게 제일 빨라요. 이웃한 두 항 a_{n+1}과 a_n의 비가 결국 어떤 값 L로 수렴하는지만 보면 되죠. 이게 비판정법(ratio test)이에요. 비슷하게 항 전체에 n제곱근을 씌워 보는 근판정법(root test)도 있어요. 둘 다 기준은 똑같아요: L<1이면 수렴, L>1이면 발산.

  • 비판정법: L = \lim \vert a_{n+1}/a_n \vert
  • 근판정법: L = \lim \sqrt[n]{\vert a_n \vert}
  • 판정 기준: L<1 절대수렴, L>1 발산, L=1 미결정

먼저 알아야 할 것

개념 설명

비판정법

핵심 아이디어는 등비급수예요. \sum r^n은 비율이 일정하게 r이고, \vert r \vert < 1일 때만 수렴하죠. 비판정법은 이 발상을 "비율이 일정하진 않지만 결국 어떤 값 L로 수렴하는" 급수로 넓힌 거예요.

항의 비율 \vert a_{n+1}/a_n \vert을 잡아 그 극한 L을 봐요. 큰 n에서 급수가 대략 공비 L인 등비급수처럼 행동하니, L<1이면 항이 충분히 빨리 0으로 줄어 절대수렴하고, L>1이면 항이 오히려 커져 발산해요. 딱 L=1인 경계에서는 이 방법으론 아무 말도 못 해요(미결정).

근판정법

항이 통째로 n제곱, 예컨대 a_n = (\text{something})^n 꼴이면 비율보다 n제곱근이 더 깔끔해요. \sqrt[n]{\vert a_n \vert}의 극한 L을 보는 거죠. 여기서도 \sqrt[n]{\vert r^n \vert} = \vert r \vert이라는 등비급수 감각이 그대로예요. 기준은 비판정법과 완전히 동일하고요. 지수 n이 눈에 보이면 근판정, 계승이 보이면 비판정 — 이렇게 골라 잡으면 편해요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}이 수렴할까요? 지수 2^n과 계승 n!이 곱셈 구조라 비판정법이 딱이에요.

  1. 항을 적어요: a_n = \dfrac{2^n}{n!}, 다음 항은 a_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}.

  2. 비율을 만들어요(나누기는 뒤집어 곱하기):

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n}
  1. 약분해요. 2^{n+1}/2^n = 2이고, (n+1)! = (n+1) \cdot n!이니 n!/(n+1)! = 1/(n+1)이에요. 그래서
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2}{n+1}

  1. 극한을 봐요: L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} = 0.

  2. L = 0 < 1이니 절대수렴해요. (참고로 이 급수의 합은 e^2 - 1이에요 — 지수함수 전개의 한 조각이죠.)

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 계승·지수처럼 곱셈으로 짜인 항이면 이웃 항의 비 L = \lim \vert a_{n+1}/a_n \vert를 봐요.
  • 항이 통째로 n제곱이면 근판정 L = \lim \sqrt[n]{\vert a_n \vert}이 더 깔끔하고, 기준은 같아요.
  • L<1 절대수렴, L>1 발산, L=1 미결정(다른 판정법으로).
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 11.8 거듭제곱급수에서 이 비판정법으로 수렴반경 — "x가 어디까지 커도 급수가 살아있는가" — 을 구해요. 지금 익힌 약분 감각이 그대로 쓰여요.

Exercises

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11.6 비판정법과 근판정법 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.812

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문제 1. 다음 각 경우에 급수 \sum a_n 에 대해 무엇을 말할 수 있나요?

(a) \lim_{n\to\infty} \left\vert \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = 8

(b) \lim_{n\to\infty} \left\vert \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = 0.8

(c) \lim_{n\to\infty} \left\vert \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = 1

풀이 보기

비판정법(Ratio Test)의 결론을 그대로 적용하는 문제예요. 극한값을 L 이라 하면 규칙은 세 가지뿐이에요.

  • L < 1 이면 절대수렴(따라서 수렴)
  • L > 1 (또는 \infty)이면 발산
  • L = 1 이면 판정 불가(아무 결론도 못 냄)

(a) L = 8 > 1 이므로 급수는 발산해요.

(b) L = 0.8 < 1 이므로 급수는 절대수렴(따라서 수렴)해요.

(c) L = 1 이므로 비판정법으로는 아무것도 판정할 수 없어요. 이 경우엔 다른 판정법(예: p-급수, 비교판정법 등)을 써야 해요.

문제 5. 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 비판정법으로 판정하세요.

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\,\frac{3^n}{2^n\, n^3}
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비판정법은 절댓값을 써요. \left\vert a_n \right\vert = \dfrac{3^n}{2^n n^3} 로 놓고 이웃한 항의 비를 계산해요.

\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)^3} \cdot \frac{2^n\, n^3}{3^n}

같은 밑끼리 정리하면 \dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3, \dfrac{2^n}{2^{n+1}} = \dfrac{1}{2} 이므로

\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \frac{3}{2}\left(\frac{n}{n+1}\right)^3

여기서 \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^3 \to 1 이므로

\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} > 1

극한값이 1 보다 크므로 이 급수는 발산해요.

검산: 이 급수는 사실상 \left(\dfrac{3}{2}\right)^n 을 포함해서 항이 폭발적으로 커져요. 지수 \dfrac{3}{2} > 1 인 기하급수처럼 항이 0 으로 가지 않으니 발산이 맞아요.

문제 13. 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하세요.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n\pi/3)}{n!}
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분자 \cos(n\pi/3) 는 부호가 바뀌고 값이 오르내려서 비의 극한이 깔끔하게 안 나와요. 그래서 절댓값에 상한을 씌운 뒤 비판정법을 적용해요.

\left\vert \cos(n\pi/3) \right\vert \le 1 이므로

\left\vert \frac{\cos(n\pi/3)}{n!} \right\vert \le \frac{1}{n!}

이제 \sum \dfrac{1}{n!} 에 비판정법을 적용해요. b_n = \dfrac{1}{n!} 로 놓으면

\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \to 0 < 1

이라서 \sum \dfrac{1}{n!} 은 수렴해요. 원래 급수의 각 항의 절댓값이 이 수렴급수의 항보다 작으니, 비교판정법에 의해 원래 급수는 절대수렴(따라서 수렴)해요.

검산: n! 은 어떤 지수함수보다도 빠르게 커지므로 분모가 압도적으로 커져요. 분자는 -1 과 1 사이에 갇혀 있으니 항이 매우 빠르게 0 으로 줄어 수렴이 자연스러워요.

문제 14. 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 비판정법으로 판정하세요.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}
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a_n = \dfrac{n!}{n^n} 로 놓고 비를 계산해요.

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!}

(n+1)! = (n+1)\cdot n! 이므로 \dfrac{(n+1)!}{n!} = n+1 이고, (n+1)^{n+1} = (n+1)\cdot(n+1)^n 이에요. 정리하면

\frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)\,(n+1)^n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n

이 식을 \dfrac{1}{(1+1/n)^n} 꼴로 바꾸면

\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} = \frac{1}{e}

가 되어요(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e 를 이용했어요). 따라서

L = \frac{1}{e} \approx 0.368 < 1

극한값이 1 보다 작으므로 이 급수는 수렴해요.

검산: \dfrac{1}{e} \approx 0.368 로 1 보다 확실히 작아요. 분모 n^n 이 분자 n! 보다 훨씬 빠르게 커져서 항이 줄어드니 수렴이 맞아요.

문제 19. 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 비판정법으로 판정하세요.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot 4\cdot 6\cdots(2n)}{n!}
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a_n = \dfrac{2\cdot 4\cdot 6\cdots(2n)}{n!} 로 놓아요. 다음 항 a_{n+1} 은 분자에 (2n+2) 가 하나 더 곱해지고 분모가 (n+1)! 이 돼요.

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2\cdot 4\cdots(2n)(2n+2)}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2\cdot 4\cdots(2n)}

곱해진 부분 2\cdot 4\cdots(2n) 이 약분되고 \dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{1}{n+1} 이므로

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n+2}{n+1} = \frac{2(n+1)}{n+1} = 2

즉 비가 항상 정확히 2 라서

L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 > 1

극한값이 1 보다 크므로 이 급수는 발산해요.

검산: 분자를 정리하면 2\cdot 4\cdots(2n) = 2^n\,(1\cdot 2\cdots n) = 2^n\, n! 이에요. 그러면 a_n = \dfrac{2^n\, n!}{n!} = 2^n 이 되어 급수는 \sum 2^n 이에요. 항이 발산하니 급수도 발산, 비 L=2 와 완벽히 일치해요.

문제 30. 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하세요.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\, 5^{2n}}{10^{n+1}}
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a_n = \dfrac{n\, 5^{2n}}{10^{n+1}} 로 놓고 비판정법을 적용해요.

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)\,5^{2n+2}}{10^{n+2}} \cdot \frac{10^{n+1}}{n\, 5^{2n}}

같은 밑끼리 정리하면 \dfrac{5^{2n+2}}{5^{2n}} = 5^2 = 25, \dfrac{10^{n+1}}{10^{n+2}} = \dfrac{1}{10} 이므로

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{25}{10} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{5}{2}

\dfrac{n+1}{n} \to 1 이므로

L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5}{2} > 1

극한값이 1 보다 크므로 이 급수는 발산해요.

검산: 5^{2n} = 25^n 이고 10^{n+1} = 10\cdot 10^n 이므로 a_n = \dfrac{n}{10}\left(\dfrac{25}{10}\right)^n = \dfrac{n}{10}\left(\dfrac{5}{2}\right)^n 이에요. 밑 \dfrac{5}{2} > 1 이라 항이 0 으로 가기는커녕 무한히 커지니(발산판정법으로도) 발산, 비 L = \dfrac{5}{2} 와 일치해요.

문제 33. 다음 급수가 절대수렴, 조건수렴, 발산 중 무엇인지 판정하세요.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \arctan n}{n^2}
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절대수렴 여부부터 살펴봐요. 절댓값을 씌우면

\left\vert \frac{(-1)^n \arctan n}{n^2} \right\vert = \frac{\arctan n}{n^2}

여기서 \arctan n 은 모든 n 에 대해 \dfrac{\pi}{2} 보다 작아요(\arctan 의 값은 항상 \dfrac{\pi}{2} 미만이에요). 그래서

\frac{\arctan n}{n^2} < \frac{\pi/2}{n^2} = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{n^2}

오른쪽의 \sum \dfrac{1}{n^2} 은 p=2>1 인 p-급수라서 수렴해요. 상수배 \dfrac{\pi}{2} 를 곱해도 수렴하고요. 비교판정법에 의해 \sum \dfrac{\arctan n}{n^2} 도 수렴해요.

절댓값 급수가 수렴하므로 원래 급수는 절대수렴해요.

검산: 분자 \arctan n 은 \dfrac{\pi}{2} \approx 1.57 로 유계인데 분모 n^2 은 계속 커져요. 결국 항이 \dfrac{1}{n^2} 처럼 줄어들어 절대수렴이 자연스러워요.

문제 34. 다음 급수가 절대수렴, 조건수렴, 발산 중 무엇인지 판정하세요. [힌트: \ln x < \sqrt{x}]

\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\,\ln n}
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1단계: 절대수렴 여부. 절댓값 급수 \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}\,\ln n} 를 봐요. 힌트 \ln n < \sqrt{n} 을 쓰면 분모가

\sqrt{n}\,\ln n < \sqrt{n}\cdot\sqrt{n} = n

이고, 분모가 작을수록 분수는 커지므로

\frac{1}{\sqrt{n}\,\ln n} > \frac{1}{n}

가 돼요. 오른쪽 \sum \dfrac{1}{n} 은 조화급수라서 발산해요. 발산급수보다 항이 더 큰 급수는 비교판정법에 의해 함께 발산하므로, \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}\,\ln n} 은 발산해요. 즉 절대수렴은 아니에요.

2단계: 조건수렴 여부(교대급수 판정법). b_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}\,\ln n} 로 놓아요.

  • \sqrt{n} 도 커지고 \ln n 도 커지므로 분모가 증가해요. 따라서 b_n 은 감소해요.
  • n \to \infty 일 때 분모가 무한대로 가므로 b_n \to 0 이에요.

두 조건을 모두 만족하니 교대급수 판정법에 의해 원래 급수는 수렴해요.

절댓값으로는 발산하지만 교대급수 자체는 수렴하므로, 이 급수는 조건수렴해요.

검산: 절댓값 급수가 조화급수보다 항이 크니 발산하는 게 맞고, 부호가 번갈아 나오면서 b_n 이 0 으로 단조 감소하니 교대급수로는 수렴 — 두 사실이 합쳐져 조건수렴이라는 결론이 딱 맞아요.

문제 35. 어떤 급수의 항이 다음 점화식으로 정의되어 있어요.

a_1 = 2, \qquad a_{n+1} = \frac{5n+1}{4n+3}\,a_n

이때 \sum a_n 이 수렴하는지 발산하는지 판정하세요.

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점화식이 바로 이웃한 항의 비를 알려줘요. 모든 항이 양수이므로(a_1 = 2 > 0 이고 곱해지는 계수도 양수) 절댓값을 따로 씌울 필요 없이

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5n+1}{4n+3}

이 되어요. 분자·분모를 n 으로 나눠 극한을 구하면

L = \lim_{n\to\infty}\frac{5n+1}{4n+3} = \lim_{n\to\infty}\frac{5 + \frac{1}{n}}{4 + \frac{3}{n}} = \frac{5}{4}

극한값 L = \dfrac{5}{4} > 1 이므로 비판정법에 의해 이 급수는 발산해요.

검산: 충분히 큰 n 에서 비 \dfrac{5n+1}{4n+3} 이 1 보다 커요(예: n=10 이면 \dfrac{51}{43} \approx 1.19). 매번 1 보다 큰 수를 곱하니 항이 계속 커지고, 항이 0 으로 가지 않으니 발산이 맞아요.

문제 39. 다음 급수 중 비판정법이 판정 불가(즉 확실한 답을 주지 못함)인 것은 어느 것인가요?

(a) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}   (b) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}   (c) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{\sqrt{n}}   (d) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{1+n^2}

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비판정법이 판정 불가인 경우는 극한값이 정확히 L = 1 일 때예요. 각각 비의 극한을 구해봐요.

(a) a_n = \dfrac{1}{n^3}.

\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \frac{n^3}{(n+1)^3} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 \to 1

L = 1 이므로 판정 불가예요.

(b) a_n = \dfrac{n}{2^n}.

\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{2} \to \frac{1}{2}

L = \dfrac{1}{2} \ne 1 이므로 판정 가능(수렴).

(c) a_n = \dfrac{(-3)^{n-1}}{\sqrt{n}}.

\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \frac{3^n}{\sqrt{n+1}}\cdot\frac{\sqrt{n}}{3^{n-1}} = 3\sqrt{\frac{n}{n+1}} \to 3

L = 3 \ne 1 이므로 판정 가능(발산).

(d) a_n = \dfrac{\sqrt{n}}{1+n^2}.

\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \frac{\sqrt{n+1}}{1+(n+1)^2}\cdot\frac{1+n^2}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{n+1}{n}}\cdot\frac{1+n^2}{1+(n+1)^2}

n \to \infty 일 때 \sqrt{\dfrac{n+1}{n}} \to 1 이고 유리식 \dfrac{1+n^2}{1+(n+1)^2} \to 1(분자·분모 모두 최고차항 n^2)이므로 L = 1 \cdot 1 = 1. 판정 불가예요.

결론: 비판정법이 판정 불가인 것은 (a) 와 (d) 예요.

검산: (a)와 (d)는 모두 n 의 유리·대수 함수 꼴이에요. 이런 형태는 항상 비의 극한이 1 로 나와서 비판정법이 무력해요(대신 p-급수나 비교판정법으로 처리해요). 반면 (b)·(c)는 지수 2^n, 3^n 이 들어 있어 비가 1 이 아닌 값으로 수렴해요.

문제 41.

(a) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} 이 모든 x 에 대해 수렴함을 보이세요.

(b) 이로부터 모든 x 에 대해 \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{x^n}{n!} = 0 임을 유도하세요.

풀이 보기

(a) x 를 아무 실수로 하나 고정해요. x = 0 이면 급수는 \dfrac{0^0}{0!} = 1 뒤로 모두 0 이라 자명하게 수렴하니, x \ne 0 인 경우를 비판정법으로 봐요. a_n = \dfrac{x^n}{n!} 로 놓으면

\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \left\vert \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{x^n} \right\vert = \frac{\left\vert x \right\vert}{n+1}

여기서 x 는 고정된 값이라 \left\vert x \right\vert 는 상수이고, 분모 n+1 은 무한히 커지므로

\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \lim_{n\to\infty}\frac{\left\vert x \right\vert}{n+1} = 0 < 1

극한값이 1 보다 작으므로(사실 x 가 무엇이든 항상 0 이에요) 비판정법에 의해 이 급수는 모든 x 에 대해 절대수렴해요.

(b) 수렴하는 급수의 항은 반드시 0 으로 가야 해요(발산판정법의 대우: 급수가 수렴하면 일반항이 0 으로 수렴). (a)에서 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} 이 모든 x 에 대해 수렴함을 보였으니, 그 일반항도 0 으로 가야 해요.

\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{n!} = 0 \qquad (\text{모든 } x)

검산: 어떤 고정된 x 를 잡아도 n 이 \left\vert x \right\vert 를 넘어서면 비 \dfrac{\left\vert x \right\vert}{n+1} 이 1 보다 작아지고, 그 뒤로 항이 매 단계 축소돼요. 팩토리얼 n! 이 지수 x^n 보다 훨씬 빠르게 커지니 항이 0 으로 가는 게 당연해요.

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