외적은 기호 행렬식 으로 계산해요. 첫 행에 \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, 둘째·셋째 행에 \mathbf{a},\mathbf{b} 의 성분을 놓아요.

각 2\times 2 소행렬식을 계산하면

수직 확인은 내적이 0인지 보면 돼요.

둘 다 0이니 \mathbf{a}\times\mathbf{b} 는 \mathbf{a}, \mathbf{b} 모두에 수직이에요.

최종답: \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle 15,\ -10,\ -3\rangle (두 내적이 모두 0이라 수직 확인 완료)

성분으로 쓰면 \mathbf{a}=\langle 0,\ 2,\ -4\rangle, \mathbf{b}=\langle -1,\ 3,\ 1\rangle 이에요. (\mathbf{a} 에는 \mathbf{i} 성분이 없으니 0이에요.)

수직 확인이에요.

최종답: \mathbf{a}\times\mathbf{b}=14\mathbf{i}+4\mathbf{j}+2\mathbf{k}=\langle 14,\ 4,\ 2\rangle (수직 확인 완료)

분수가 있어도 절차는 똑같아요. \mathbf{a}=\langle \tfrac12,\ \tfrac13,\ \tfrac14\rangle, \mathbf{b}=\langle 1,\ 2,\ -3\rangle 로 놓고 행렬식을 전개해요.

괄호 안을 하나씩 계산하면

수직 확인이에요. 분모를 통분해서 계산해요.

최종답: \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\left\langle -\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{4},\ \dfrac{2}{3}\right\rangle (수직 확인 완료)

성분이 t 의 식이어도 계산 규칙은 같아요.

수직 확인이에요. 항이 전부 짝지어 소거되는 걸 봐요.

최종답: \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle 3t^3-2t^2,\ t^2-3t^4,\ 2t^4-t^3\rangle (모든 t 에 대해 수직 확인 완료)

표준기저의 외적 규칙 \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k} 를 먼저 써요.

같은 벡터끼리의 외적은 항상 영벡터예요(\mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}, 사잇각이 0이라 넓이가 0이기 때문이에요).

최종답: (\mathbf{i}\times\mathbf{j})\times\mathbf{k}=\mathbf{0}

분배법칙으로 네 항을 펼쳐요.

표준기저 규칙을 하나씩 적용해요. \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}, \mathbf{j}\times\mathbf{i}=-\mathbf{k} (순서가 반대라 부호가 바뀌어요), \mathbf{k}\times\mathbf{k}=\mathbf{0}, \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}.

최종답: (\mathbf{j}-\mathbf{k})\times(\mathbf{k}-\mathbf{i})=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}

검산: 행렬식으로 \langle 0,1,-1\rangle\times\langle -1,0,1\rangle=\langle 1\cdot 1-(-1)\cdot 0,\ (-1)(-1)-0\cdot 1,\ 0\cdot 0-1\cdot(-1)\rangle=\langle 1,1,1\rangle 로 일치해요.

판정 기준은 딱 두 줄이에요. 내적(\cdot)은 벡터·벡터 → 스칼라, 외적(\times)은 벡터·벡터 → 벡터 이고, 스칼라가 끼어든 내적·외적은 정의되지 않아요.

• (a) \mathbf{b}\times\mathbf{c} 는 벡터 → 벡터 \mathbf{a} 와의 내적 가능. 의미 있음, 스칼라 (이게 바로 스칼라 삼중적이에요).
• (b) \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} 는 스칼라 → 벡터 \mathbf{a} 와 스칼라의 외적은 정의 안 됨. 의미 없음.
• (c) \mathbf{b}\times\mathbf{c} 는 벡터 → 벡터 \mathbf{a} 와의 외적 가능. 의미 있음, 벡터 (벡터 삼중적이에요).
• (d) \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} 는 스칼라 → 벡터 \mathbf{a} 와 스칼라의 내적은 정의 안 됨. 의미 없음.
• (e) \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} 와 \mathbf{c}\cdot\mathbf{d} 는 둘 다 스칼라 → 스칼라끼리의 외적은 정의 안 됨. 의미 없음.
• (f) \mathbf{a}\times\mathbf{b} 와 \mathbf{c}\times\mathbf{d} 는 둘 다 벡터 → 벡터끼리의 내적 가능. 의미 있음, 스칼라.

최종답: (a) 스칼라 · (b) 무의미 · (c) 벡터 · (d) 무의미 · (e) 무의미 · (f) 스칼라

크기는 공식 |\mathbf{u}\times\mathbf{v}|=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin\theta 하나로 끝나요.

방향은 오른손 법칙 으로 판정해요. 네 손가락을 \mathbf{u} 에서 \mathbf{v} 쪽으로(150^\circ 를 지나며) 감을 때 엄지가 가리키는 쪽이 \mathbf{u}\times\mathbf{v} 예요. 교재 그림에서는 \mathbf{u} 에서 \mathbf{v} 로 도는 방향이 반시계 방향이라 엄지가 지면 바깥(out of the page) 을 향해요.

최종답: |\mathbf{u}\times\mathbf{v}|=6, 방향은 지면 바깥쪽(out of the page)

먼저 \mathbf{a}\times\mathbf{b} 를 행렬식으로 계산해요.

\mathbf{b}\times\mathbf{a} 는 다시 계산할 필요 없이 반교환법칙 \mathbf{b}\times\mathbf{a}=-(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) 를 쓰면 돼요.

최종답: \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle -7,\ 10,\ 8\rangle,   \mathbf{b}\times\mathbf{a}=\langle 7,\ -10,\ -8\rangle

검산: (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a}=-14-10+24=0 이라 \mathbf{a} 에 수직인 것도 확인돼요.

두 벡터에 동시에 수직인 벡터는 외적 으로 만들면 돼요.

단위벡터로 만들려면 크기로 나눠요.

수직 방향은 서로 반대인 두 개가 있으니 \pm 를 붙여요.

최종답: \pm\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\langle -1,\ -1,\ 5\rangle=\pm\left\langle -\dfrac{\sqrt{3}}{9},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{9},\ \dfrac{5\sqrt{3}}{9}\right\rangle

검산: \langle -1,-1,5\rangle\cdot\langle 3,2,1\rangle=-3-2+5=0, \langle -1,-1,5\rangle\cdot\langle -1,1,0\rangle=1-1+0=0 으로 둘 다 수직이에요.

성분 정의로 직접 확인해요. \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle, \mathbf{0}=\langle 0,0,0\rangle 로 놓아요.

외적의 성분 정의는

이에요. \mathbf{u}=\mathbf{0} 을 넣으면 모든 항에 인수 0이 곱해져요.

마찬가지로 \mathbf{v}=\mathbf{0} 을 넣으면

최종답: 모든 성분이 0이 되어 \mathbf{0}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}=\mathbf{a}\times\mathbf{0} 이 성립해요. \blacksquare

성분 정의로 양변을 각각 써서 비교해요. \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle, \mathbf{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle 로 놓아요.

\mathbf{b}\times\mathbf{a} 는 정의에서 a 와 b 의 역할만 바꾼 것이에요.

각 성분을 비교하면 첫 성분은 b_2a_3-b_3a_2=-(a_2b_3-a_3b_2) 로 부호만 반대이고, 나머지 두 성분도 똑같이 부호만 반대예요. 따라서

최종답: 성분별 부호 반전으로 \mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a} 증명 완료예요. \blacksquare (행렬식 관점으로는, 두 행을 맞바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다는 성질과 같은 얘기예요.)

역시 성분으로 증명해요. \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle, \mathbf{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle, \mathbf{c}=\langle c_1,c_2,c_3\rangle 이면 \mathbf{b}+\mathbf{c}=\langle b_1+c_1,\ b_2+c_2,\ b_3+c_3\rangle 이에요.

외적의 정의에 넣고 첫 성분부터 전개해요. 실수 곱셈의 분배법칙이 핵심이에요.

둘째·셋째 성분도 완전히 같은 방식으로 갈라져요.

세 성분이 모두 일치하므로 두 벡터가 같아요.

최종답: \mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\mathbf{c} 증명 완료예요. \blacksquare

평행사변형 넓이는 이웃한 두 변 벡터의 외적 크기 예요. 한 꼭짓점 A 에서 나가는 두 변을 잡아요.

평면벡터는 z 성분을 0으로 두고 3차원 외적을 계산하면 \mathbf{k} 성분만 남아요.

넓이는 이 벡터의 크기예요.

최종답: 넓이 =20

검산: \overrightarrow{AB}=\langle 2,3\rangle 과 \overrightarrow{DC}=\langle 5-3,\ 2-(-1)\rangle=\langle 2,3\rangle 이 같아서 ABCD 가 실제로 평행사변형인 것도 확인돼요.

(a) 평면에 수직인 벡터는 평면 위 두 방향벡터의 외적이에요.

(b) 삼각형 넓이는 평행사변형 넓이(외적의 크기)의 절반이에요.

최종답: (a) \langle -10,\ 11,\ 3\rangle (0이 아닌 스칼라배도 모두 답이에요)   (b) S=\dfrac{\sqrt{230}}{2}

검산: \langle -10,11,3\rangle\cdot\overrightarrow{PQ}=-20+11+9=0, \langle -10,11,3\rangle\cdot\overrightarrow{PR}=-50+44+6=0 으로 정말 평면에 수직이에요.

(a) 두 변 벡터를 만들어 외적해요.

(b) 넓이는 외적 크기의 절반이에요.

최종답: (a) \langle 12,\ -1,\ 17\rangle   (b) S=\dfrac{\sqrt{434}}{2}

검산: \langle 12,-1,17\rangle\cdot\overrightarrow{PQ}=-48-3+51=0, \langle 12,-1,17\rangle\cdot\overrightarrow{PR}=-36+2+34=0 이라 수직 조건이 맞아요.

평행육면체 부피는 스칼라 삼중적의 절댓값 이에요. 스칼라 삼중적은 3\times 3 행렬식으로 한 번에 계산해요.

첫 행 전개로 계산해요.

부피는 절댓값이에요.

최종답: V=9

검산: \mathbf{b}\times\mathbf{c}=\langle 1\cdot 4-2\cdot 1,\ 2\cdot 2-(-1)\cdot 4,\ -1\cdot 1-1\cdot 2\rangle=\langle 2,\ 8,\ -3\rangle 이고 \mathbf{a}\cdot\langle 2,8,-3\rangle=2+16-9=9 로 같은 값이 나와요.

먼저 세 모서리 벡터를 만들어요(종점 − 시점).

부피는 스칼라 삼중적의 절댓값이에요.

최종답: V=16

검산: \overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS}=\langle 3\cdot 1-(-1)\cdot 5,\ (-1)\cdot 5-3\cdot 1,\ 3\cdot 5-3\cdot 5\rangle=\langle 8,\ -8,\ 0\rangle, \overrightarrow{PQ}\cdot\langle 8,-8,0\rangle=32-16+0=16 으로 일치해요.

세 벡터가 공면일 필요충분조건은 스칼라 삼중적이 0(부피 0인 평행육면체)이에요.

첫 행 전개예요.

삼중적이 0이므로 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피가 0이고, 이는 세 벡터가 한 평면 위에 있다는 뜻이에요.

최종답: \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=0 이므로 공면이에요. \blacksquare

검산: 실제로 \mathbf{w}=2\mathbf{u}+\mathbf{v} 인지 보면 2\langle 1,5,-2\rangle+\langle 3,-1,0\rangle=\langle 5,9,-4\rangle=\mathbf{w} 로 딱 맞아요. 일차결합으로 표현되니 당연히 같은 평면이에요.

토크의 크기 공식은 |\boldsymbol{\tau}|=|\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta 예요. 여기서 \theta 는 위치벡터 \mathbf{r} 와 힘 \mathbf{F} 의 사잇각이에요.

교재 그림의 두 각(70^\circ, 10^\circ)을 합치면 \mathbf{r} 와 \mathbf{F} 의 사잇각은

가 돼요. 단위를 SI로 맞춰요. |\mathbf{r}|=18\,\mathrm{cm}=0.18\,\mathrm{m}, |\mathbf{F}|=60\,\mathrm{N}.

최종답: |\boldsymbol{\tau}|=10.8\sin 80^\circ\approx 10.6\ \mathrm{N\cdot m}

검산: 힘이 축에 완전히 수직이었다면 최대 토크 0.18\times 60=10.8\ \mathrm{N\cdot m} 인데, 80^\circ 는 수직(90^\circ)에 가까워서 그보다 살짝 작은 값이 나오는 게 자연스러워요.

위치벡터와 힘을 벡터로 써요. 렌치 끝은 \mathbf{r}=\langle 0,\ 0.3,\ 0\rangle (단위: m)이고, 힘은 방향 \langle 0,3,-4\rangle 의 단위벡터에 크기 |\mathbf{F}| 를 곱한 것이에요. |\langle 0,3,-4\rangle|=5 이므로

토크를 계산해요. \mathbf{j}\times\mathbf{j}=\mathbf{0}, \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i} 만 살아남아요.

크기 조건을 걸어요.

최종답: |\mathbf{F}|=\dfrac{1250}{3}\approx 417\ \mathrm{N}

검산: 각도로 봐도 같아요. \mathbf{r} (y 축)과 힘 방향 \langle 0,3,-4\rangle 의 사잇각 \theta 는 \sin\theta=\tfrac{4}{5} 이고, 0.3\times\tfrac{1250}{3}\times\tfrac{4}{5}=125\times 0.8=100\ \mathrm{N\cdot m} 로 정확히 맞아요.

내적과 외적의 크기 공식을 나란히 써요. 사잇각을 \theta 라 하면

두 식을 나누면 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| 가 소거되면서 탄젠트가 나와요.

외적의 크기를 먼저 구해요.

따라서

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sqrt{3}>0 이라 \theta 는 예각이 맞으니 \pi/3 하나로 확정돼요.

최종답: \theta=\dfrac{\pi}{3} (즉 60^\circ)

검산: \cos 60^\circ=\tfrac12, \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2} 이면 |\mathbf{a}||\mathbf{b}|=\dfrac{\sqrt3}{\cos 60^\circ}=2\sqrt{3} 이고 |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=2\sqrt{3}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=3 으로 주어진 값과 일치해요.

(a) \mathbf{a} 와 \mathbf{b} 의 사잇각을 \theta 라 해요. 거리 d 는 P 에서 직선에 내린 수선의 길이이므로, 직각삼각형에서

예요 (빗변 |\mathbf{b}|=|\overrightarrow{QP}| 에 \sin\theta 를 곱한 높이). 한편 외적의 크기 공식에서

두 식을 합치면 d=\dfrac{|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|} 예요. \blacksquare

(b) 공식에 넣을 두 벡터를 만들어요.

외적을 계산해요.

크기들을 구해요.

최종답: (a) 증명 완료   (b) d=\sqrt{\dfrac{97}{3}}=\dfrac{\sqrt{291}}{3}\approx 5.69

검산: (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a}=-9+16-7=0 이라 외적 계산에 오류가 없는 걸 확인할 수 있어요.

사잇각 \theta 를 매개로 양변을 연결해요. 외적 크기 공식에서 시작해요.

\sin^2\theta=1-\cos^2\theta (피타고라스 항등식)을 대입해요.

마지막 괄호는 정확히 내적이에요(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta).

최종답: |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^2=|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2 증명 완료예요. \blacksquare (라그랑주 항등식이라고 불러요.)

검산: 문제 1의 값으로 확인하면 |\langle 15,-10,-3\rangle|^2=334, |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2=13\cdot 26-2^2=338-4=334 로 딱 맞아요.

외적의 분배법칙(정리 11의 성질 3, 4)으로 좌변을 펼쳐요.

여기서 두 가지 성질을 써요. 자기 자신과의 외적은 \mathbf{0} 이고(\mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{b}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}), 반교환법칙으로 -\mathbf{b}\times\mathbf{a}=+\mathbf{a}\times\mathbf{b} 예요.

최종답: (\mathbf{a}-\mathbf{b})\times(\mathbf{a}+\mathbf{b})=2(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) 증명 완료예요. \blacksquare (내적의 (a-b)(a+b)=|a|^2-|b|^2 과 달리, 외적은 교차항이 살아남는 게 포인트예요.)

세 항 각각에 벡터 삼중적 공식을 적용해요. 문자만 돌려가며(순환) 대입하면 돼요.

세 식을 모두 더해요. 내적은 교환 가능(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a})하니 같은 계수끼리 짝지어 소거돼요.

최종답: 세 벡터 삼중적의 합이 \mathbf{0} — 야코비 항등식 증명 완료예요. \blacksquare

세 문항 모두 \mathbf{d}=\mathbf{b}-\mathbf{c} 로 놓고 보는 게 깔끔해요.

(a) 아니요. \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} 는 \mathbf{a}\cdot\mathbf{d}=0, 즉 \mathbf{d} 가 \mathbf{a} 에 수직 이라는 것만 말해줘요. \mathbf{d} 가 꼭 \mathbf{0} 일 필요는 없어요.

• 반례: \mathbf{a}=\mathbf{i}, \mathbf{b}=\mathbf{j}, \mathbf{c}=\mathbf{k} 이면 \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} 이지만 \mathbf{b}\neq\mathbf{c} 예요.

(b) 아니요. \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{a}\times\mathbf{c} 는 \mathbf{a}\times\mathbf{d}=\mathbf{0}, 즉 \mathbf{d} 가 \mathbf{a} 에 평행 이라는 것만 말해줘요.

• 반례: \mathbf{a}=\mathbf{i}, \mathbf{b}=\mathbf{j}, \mathbf{c}=\mathbf{i}+\mathbf{j} 이면 \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{k} 이고 \mathbf{a}\times\mathbf{c}=\mathbf{i}\times\mathbf{i}+\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k} 로 같지만 \mathbf{b}\neq\mathbf{c} 예요.

(c) 네, 성립해요. 두 조건을 합치면 \mathbf{d} 는 \mathbf{a} 에 수직이면서(내적 조건) 동시에 평행(외적 조건)이에요. \mathbf{a}\neq\mathbf{0} 인데 영벡터가 아닌 벡터가 같은 벡터에 수직이면서 평행일 수는 없으니(\theta 가 90^\circ 이면서 0^\circ 또는 180^\circ 일 수 없어요) 남는 가능성은 \mathbf{d}=\mathbf{0} 뿐이에요. 따라서 \mathbf{b}=\mathbf{c} 예요.

최종답: (a) 아니요(반례 존재)   (b) 아니요(반례 존재)   (c) 네, \mathbf{b}=\mathbf{c} 가 성립해요.