3차원에서는 꼬인 위치(skew) 가 존재한다는 점, 그리고 "수직"은 방향을 하나로 고정하지 못한다는 점이 판별의 핵심이에요. 하나씩 볼게요.

• (a) 참. 평행은 방향벡터가 스칼라배 관계라는 뜻이라, \mathbf{v}_1 \parallel \mathbf{v}_3 이고 \mathbf{v}_2 \parallel \mathbf{v}_3 이면 \mathbf{v}_1 \parallel \mathbf{v}_2 예요(평행의 추이성).
• (b) 거짓. x 축과 y 축은 둘 다 z 축에 수직이지만 서로 수직이에요. 3차원에서 한 직선에 수직인 방향은 평면 하나만큼(2차원) 있어서 방향이 고정되지 않아요.
• (c) 참. 평면의 평행은 법선벡터의 평행이라, (a)와 같은 논리로 성립해요.
• (d) 거짓. xy 평면과 xz 평면은 둘 다 yz 평면에 수직이지만 서로 교차해요(x 축에서 만나요).
• (e) 거짓. 평면 z=0 에 평행한 직선의 방향은 \langle 1,0,0\rangle, \langle 0,1,0\rangle 등 무엇이든 될 수 있어서, 그런 두 직선이 서로 평행할 이유가 없어요.
• (f) 참. 평면에 수직인 직선의 방향벡터는 그 평면의 법선벡터 \mathbf{n} 과 평행해요. 둘 다 \mathbf{n} 에 평행하니 서로 평행해요.
• (g) 거짓. 평면 y=1 과 z=1 은 둘 다 x 축(직선)에 평행하지만 서로 교차해요.
• (h) 참. 직선에 수직인 평면의 법선벡터는 그 직선의 방향벡터와 평행해요. 두 평면의 법선이 서로 평행하니 두 평면도 평행해요.
• (i) 참. 두 평면의 법선이 평행하면 평면이 평행(또는 일치)하고, 평행하지 않으면 반드시 한 직선에서 교차해요. 제3의 경우는 없어요.
• (j) 거짓. 3차원에는 교차하지도 평행하지도 않는 꼬인 위치의 두 직선 이 있어요. 예: x 축과, 직선 x=0,\ z=1(y 축 방향으로 높이 1에 떠 있는 직선).
• (k) 참. 직선의 방향벡터 \mathbf{v} 와 평면의 법선 \mathbf{n} 에 대해 \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\ne 0 이면 반드시 한 점에서 교차하고, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0 이면 직선이 평면에 평행해요(평면 위에 놓인 경우 포함). 이 둘로 모든 경우가 나뉘어요.

최종답: 참 — (a), (c), (f), (h), (i), (k) / 거짓 — (b), (d), (e), (g), (j)

직선의 벡터방정식은 지나는 점 \mathbf{r}_0 + 매개변수 t × 방향벡터 \mathbf{v} 꼴이에요.

\mathbf{r}_0=\langle -1,\ 8,\ 7\rangle, \mathbf{v}=\left\langle \tfrac{1}{2},\ \tfrac{1}{3},\ \tfrac{1}{4}\right\rangle 를 넣으면

성분별로 풀어 쓰면 매개변수방정식이 돼요.

최종답: \mathbf{r}=\left(-\mathbf{i}+8\mathbf{j}+7\mathbf{k}\right)+t\left(\tfrac{1}{2}\mathbf{i}+\tfrac{1}{3}\mathbf{j}+\tfrac{1}{4}\mathbf{k}\right),   x=-1+\tfrac{1}{2}t,\ y=8+\tfrac{1}{3}t,\ z=7+\tfrac{1}{4}t

검산: t=0 에서 (-1,8,7) 을 지나고, 계수 벡터가 \left\langle \tfrac12,\tfrac13,\tfrac14\right\rangle 그대로라 조건을 모두 만족해요. (방향벡터에 12를 곱해 \langle 6,4,3\rangle 을 써도 같은 직선이에요.)

평면에 수직인 직선의 방향벡터는 그 평면의 법선벡터 예요. 평면 3x-2y+2z=8 의 법선벡터는 계수를 그대로 읽어서

이걸 방향벡터로 쓰면

최종답: \mathbf{r}=(5\mathbf{i}+7\mathbf{j}+\mathbf{k})+t\,(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}),   x=5+3t,\ y=7-2t,\ z=1+2t

검산: 방향벡터 \langle 3,-2,2\rangle 가 법선벡터와 일치하니 평면과 수직이고, t=0 에서 (5,7,1) 을 지나요.

두 점을 지나는 직선의 방향벡터는 두 점의 차 예요.

원점을 지나는 점으로 잡으면 매개변수방정식은

대칭방정식은 각 식을 t 에 대해 풀어 이어 붙여요.

최종답: x=8t,\ y=-t,\ z=3t  /  \dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{3}

검산: t=1 에서 (8,-1,3), t=0 에서 원점이 나와요. 대칭방정식에 (8,-1,3) 을 넣으면 세 비가 모두 1 로 같아요.

방향벡터부터 구해요.

점 (12,\ 9,\ -13) 을 기준으로 매개변수방정식을 쓰면

y 방향 성분이 0 이라는 게 포인트예요. 이런 경우 y 를 t 로 풀 수 없으니, 대칭방정식에서는 y=9 를 따로 떼어 써요.

최종답: x=12-19t,\ y=9,\ z=-13+24t  /  \dfrac{x-12}{-19}=\dfrac{z+13}{24},\ \ y=9

검산: t=1 을 넣으면 (12-19,\ 9,\ -13+24)=(-7,\ 9,\ 11) 로 두 번째 점이 정확히 나와요. 직선은 평면 y=9 안에 놓여 있어요.

먼저 주어진 직선의 방향벡터를 읽어내요. \tfrac{1}{2}x=\tfrac{1}{3}y=z+1=t 로 놓으면

이므로 방향벡터는 \mathbf{v}=\langle 2,\ 3,\ 1\rangle 이에요. 평행한 직선은 같은 방향벡터 를 쓰면 돼요.

점 (-6,\ 2,\ 3) 을 지나므로

대칭방정식은

최종답: x=-6+2t,\ y=2+3t,\ z=3+t  /  \dfrac{x+6}{2}=\dfrac{y-2}{3}=z-3

검산: t=0 에서 (-6,2,3) 을 지나고, 방향벡터가 원래 직선과 같은 \langle 2,3,1\rangle 이라 평행 조건을 만족해요.

두 직선이 평행한지는 방향벡터가 서로 스칼라배인지 로 판정해요.

첫 번째 직선의 방향벡터:

두 번째 직선의 방향벡터:

비율을 비교하면

세 성분의 비가 전부 -\tfrac{5}{2} 로 같아요. 즉 \mathbf{v}_2=-\tfrac{5}{2}\,\mathbf{v}_1 이에요.

최종답: 평행해요. (\mathbf{v}_2=-\tfrac{5}{2}\mathbf{v}_1)

검산: -\tfrac52\langle 2,6,-4\rangle=\langle -5,-15,10\rangle=\mathbf{v}_2 로 딱 맞아요.

(a) 점 (x_0,y_0,z_0) 와 방향벡터 \langle a,b,c\rangle 가 주어지면 대칭방정식은 바로 쓸 수 있어요.

(b) 좌표평면과의 교점은 매개변수방정식으로 찾는 게 편해요.

• xy 평면 (z=0): 6-3t=0 \Rightarrow t=2 이므로 (1-2,\ -5+4,\ 0)=(-1,\ -1,\ 0)
• yz 평면 (x=0): 1-t=0 \Rightarrow t=1 이므로 (0,\ -3,\ 3)
• xz 평면 (y=0): -5+2t=0 \Rightarrow t=\tfrac{5}{2} 이므로 \left(1-\tfrac52,\ 0,\ 6-\tfrac{15}{2}\right)=\left(-\tfrac{3}{2},\ 0,\ -\tfrac{3}{2}\right)

최종답: (a) \dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+5}{2}=\dfrac{z-6}{-3}   (b) xy 평면: (-1,-1,0),   yz 평면: (0,-3,3),   xz 평면: \left(-\tfrac32,\ 0,\ -\tfrac32\right)

검산: (-1,-1,0) 을 대칭방정식에 넣으면 \frac{-2}{-1}=\frac{4}{2}=\frac{-6}{-3}=2 로 세 값이 모두 같아요.

두 점 \mathbf{r}_0, \mathbf{r}_1 을 잇는 선분 의 벡터방정식 공식은 다음과 같아요.

t=0 이면 시작점, t=1 이면 끝점이 되도록 두 점을 섞는(내분하는) 식이에요. \mathbf{r}_0=\langle 6,-1,9\rangle, \mathbf{r}_1=\langle 7,6,0\rangle 를 넣으면

최종답: \mathbf{r}(t)=\langle 6+t,\ -1+7t,\ 9-9t\rangle,\ \ 0\le t\le 1

검산: t=0 에서 \langle 6,-1,9\rangle, t=1 에서 \langle 7,6,0\rangle — 양 끝점이 정확히 나와요. 범위 0\le t\le 1 을 빼먹으면 직선 전체가 되니 감점 포인트예요.

1단계 — 평행 검사. 방향벡터는 \mathbf{v}_1=\langle 2,-1,3\rangle, \mathbf{v}_2=\langle 4,-2,5\rangle 예요. 비율이 \tfrac{4}{2}=2, \tfrac{-2}{-1}=2, \tfrac{5}{3}\ne 2 로 마지막이 어긋나니 평행이 아니에요.

2단계 — 교차 검사. 세 좌표를 같다고 놓고 연립해요.

두 번째 식에서 t=1+2s 예요. 이걸 첫 번째 식에 넣으면

모순이 나와요. 즉 앞의 두 식조차 동시에 만족하는 (t,s) 가 없으니 두 직선은 만나지 않아요.

평행하지도 않고 교차하지도 않으면 남는 경우는 하나예요.

최종답: 꼬인 위치(skew)예요.

검산: 평행이 아님은 1단계에서 확인했고, x,y 두 식만으로 이미 모순이라 z 식과 무관하게 교점이 존재할 수 없어요.

1단계 — 평행 검사. \mathbf{v}_1=\langle 1,-2,-3\rangle, \mathbf{v}_2=\langle 1,3,-7\rangle 는 비율이 1,\ -\tfrac23,\ \tfrac37 로 제각각이라 평행이 아니에요.

2단계 — 교차 검사. 각각 매개변수로 바꿔요(서로 다른 문자 t,s 를 써야 해요).

x, y 를 같다고 놓으면

3단계 — 세 번째 좌표로 확인. z_1=1-3(2)=-5, z_2=2-7(1)=-5. 일치해요! 그러므로 교차해요.

교점은 t=2 를 L_1 에 넣어서 (2+2,\ 3-4,\ 1-6)=(4,\ -1,\ -5).

최종답: 교차하고, 교점은 (4,\ -1,\ -5) 예요.

검산: L_2 대칭방정식에 넣으면 \frac{4-3}{1}=\frac{-1+4}{3}=\frac{-5-2}{-7}=1 로 모두 같아요. z 확인을 생략하면 안 돼요 — x,y 만 맞고 z 가 어긋나면 꼬인 위치예요.

점 (x_0,y_0,z_0) 와 법선벡터 \mathbf{n}=\langle a,b,c\rangle 가 주어지면 평면의 방정식은 공식 하나로 끝나요.

값을 넣으면

전개해서 정리해요.

최종답: 5x+4y+6z=29

검산: (3,2,1) 을 넣으면 15+8+6=29 로 성립하고, 계수 \langle 5,4,6\rangle 이 주어진 법선벡터 그대로예요.

"벡터에 수직인 평면"이라는 말은 곧 그 벡터가 법선벡터 라는 뜻이에요. \mathbf{n}=\langle 2,\ 2,\ 3\rangle 으로 놓고 공식을 써요.

전개하면

최종답: 2x+2y+3z=18

검산: (5,-2,4) 를 넣으면 10-4+12=18 로 성립해요.

직선에 수직인 평면의 법선벡터는 그 직선의 방향벡터 예요.

대칭방정식에서 방향벡터를 읽어요. -y=\dfrac{y}{-1} 로 보면 분모가 차례로 4,\ -1,\ 5 이므로

이걸 법선으로 쓰고 점 (1,3,-1) 을 지나게 하면

전개하면

최종답: 4x-y+5z+4=0  (즉 4x-y+5z=-4)

검산: (1,3,-1) 을 넣으면 4-3-5+4=0 으로 성립하고, 법선 \langle 4,-1,5\rangle 가 직선의 방향벡터와 평행하니 수직 조건도 만족해요.

평행한 평면은 법선벡터를 그대로 물려받아요. \mathbf{n}=\langle 2,\ -1,\ 3\rangle 을 쓰고 새 점을 지나게 하면 돼요.

전개하면

최종답: 2x-y+3z=-0.2

검산: (2.1,\ 1.7,\ -0.9) 를 넣으면 4.2-1.7-2.7=-0.2 로 성립하고, 좌변 계수가 원래 평면과 같아 평행해요.

세 점이 주어지면 평면 안의 두 벡터를 만들고, 외적으로 법선을 구하는 게 표준 절차예요.

P(0,1,1), Q(1,0,1), R(1,1,0) 으로 놓고

법선벡터는 외적이에요.

점 P(0,1,1) 을 지나므로

최종답: x+y+z=2

검산: 세 점을 모두 넣어 봐요. 0+1+1=2, 1+0+1=2, 1+1+0=2 — 전부 성립해요.

31번과 같은 절차예요. P(2,1,2), Q(3,-8,6), R(-2,-3,1) 로 놓으면

외적으로 법선을 구해요.

성분별로 계산하면

간단한 \langle 5,-3,-8\rangle 을 쓰고 점 P(2,1,2) 를 지나게 하면

최종답: 5x-3y-8z+9=0  (즉 5x-3y-8z=-9)

검산: 나머지 두 점을 넣어요. Q: 15+24-48=-9 ✓, R: -10+9-8=-9 ✓ — 모두 성립해요.

평면을 결정하려면 평면 안의 서로 평행하지 않은 두 방향 이 필요해요. 하나는 직선의 방향벡터, 다른 하나는 직선 위 한 점에서 주어진 점으로 가는 벡터로 만들어요.

• 직선의 방향벡터: \mathbf{v}=\langle -1,\ 2,\ -3\rangle
• 직선 위의 점(t=0): Q(4,\ -1,\ 0)
• 평면 안의 또 다른 벡터: \overrightarrow{QP}=\langle 3-4,\ 5-(-1),\ -1-0\rangle=\langle -1,\ 6,\ -1\rangle

법선은 두 벡터의 외적이에요.

\langle 8,1,-2\rangle 를 법선으로 쓰고 점 (3,5,-1) 을 지나게 하면

최종답: 8x+y-2z=31

검산: 직선이 정말 평면에 들어 있는지 두 점으로 확인해요. t=0: 8(4)+(-1)-0=31 ✓, t=1 인 점 (3,1,-3): 24+1+6=31 ✓ — 직선 전체가 평면 위에 있어요.

1단계 — 교선의 방향. 교선은 두 평면에 동시에 들어 있으니 두 법선 모두에 수직이에요. 즉 방향은 외적이에요.

2단계 — 교선 위의 한 점. z=0 으로 놓고 연립해요: x+2y=1, 2x-y=-3. 두 번째에서 y=2x+3 을 첫 번째에 넣으면 x+4x+6=1 \Rightarrow x=-1,\ y=1. 점 Q(-1,\ 1,\ 0) 이에요.

3단계 — 법선 만들기. 평면은 교선 방향 \langle 1,1,-1\rangle 과, Q 에서 주어진 점 (3,1,4) 로 가는 벡터 \overrightarrow{QP}=\langle 4,\ 0,\ 4\rangle=4\langle 1,0,1\rangle 을 모두 품어요. 법선은 이 둘의 외적이에요.

점 (3,1,4) 를 지나게 하면

최종답: x-2y-z+3=0  (즉 x-2y-z=-3)

검산: 교선 위의 점 Q(-1,1,0): -1-2-0=-3 ✓. 교선 위의 다른 점 Q+\mathbf{v}=(0,2,-1): 0-4+1=-3 ✓. 주어진 점 (3,1,4): 3-2-4=-3 ✓ — 세 조건 모두 만족해요.

구하는 평면이 두 평면에 각각 수직이면, 구하는 평면의 법선 \mathbf{n} 은 두 평면의 법선 \mathbf{n}_1=\langle 2,1,-2\rangle, \mathbf{n}_2=\langle 1,0,3\rangle 에 모두 수직 이어야 해요. 그런 벡터는 외적으로 얻어요.

점 (1,5,1) 을 지나게 하면

최종답: 3x-8y-z+38=0  (즉 3x-8y-z=-38)

검산: \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_1=6-8+2=0, \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_2=3+0-3=0 — 두 평면과의 수직 조건이 확인되고, (1,5,1) 대입 시 3-40-1+38=0 으로 성립해요.

절편은 나머지 두 변수를 0으로 놓으면 바로 나와요.

• x 절편 (y=z=0): 2x=10 \Rightarrow x=5 → 점 (5,\ 0,\ 0)
• y 절편 (x=z=0): 5y=10 \Rightarrow y=2 → 점 (0,\ 2,\ 0)
• z 절편 (x=y=0): z=10 → 점 (0,\ 0,\ 10)

그리는 방법: 세 좌표축 위에 (5,0,0), (0,2,0), (0,0,10) 을 찍고, 세 점을 선분으로 이으면 제1팔분공간에 잘린 삼각형 조각 이 생겨요. 평면 전체는 무한히 뻗어 있지만, 이 삼각형이 평면의 위치와 기울기를 대표하는 표준 스케치예요.

최종답: 절편 (5,0,0),\ (0,2,0),\ (0,0,10) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형으로 스케치해요.

검산: 세 절편 모두 2x+5y+z=10 에 대입하면 10=10 으로 성립해요.

같은 요령으로 절편부터 구해요.

• x 절편: 6x=6 \Rightarrow x=1 → (1,\ 0,\ 0)
• y 절편: -3y=6 \Rightarrow y=-2 → (0,\ -2,\ 0)
• z 절편: 4z=6 \Rightarrow z=\tfrac{3}{2} → \left(0,\ 0,\ \tfrac{3}{2}\right)

이번에는 y 절편이 음수라는 점이 포인트예요. (1,0,0), (0,-2,0), \left(0,0,\tfrac32\right) 세 점을 찍고 삼각형으로 이으면 평면이 y 축 음의 방향 쪽으로 기운 모습 으로 그려져요.

최종답: 절편 (1,0,0),\ (0,-2,0),\ \left(0,0,\tfrac{3}{2}\right) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형으로 스케치해요.

검산: 각각 대입하면 6=6, (-3)(-2)=6, 4\cdot\tfrac32=6 으로 전부 성립해요.

직선과 평면의 교점은 매개변수방정식을 평면에 대입해서 t 를 구하는 문제예요.

전개하면

t=2 를 직선에 되돌려 넣어요.

최종답: (-2,\ 6,\ 3)

검산: 평면에 대입하면 -2+12-3=7 로 정확히 성립해요.

대칭방정식 꼴이니 먼저 공통값을 t 로 놓아 매개변수화 해요.

평면에 대입해요.

되돌려 넣으면

최종답: \left(\dfrac{2}{5},\ 4,\ 0\right)

검산: 직선 쪽은 5x=2,\ \tfrac{y}{2}=2,\ z+2=2 로 세 값이 같아 직선 위의 점이 맞고, 평면 쪽은 10\cdot\tfrac25-28+0+24=4-28+24=0 으로 성립해요.

교선은 두 평면 모두에 들어 있으니, 교선의 방향벡터는 두 법선벡터에 동시에 수직 이에요. 그러니 외적 한 방이면 돼요.

최종답: 방향수는 1,\ 0,\ -1 이에요. (스칼라배도 모두 정답이에요.)

검산: \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_1=1+0-1=0, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_2=1+0-1=0 — 두 법선 모두와 수직이라 교선 방향이 맞아요.

평면끼리의 관계는 법선벡터끼리의 관계 로 판정해요.

• 평행? 비율 \tfrac{-3}{1},\ \tfrac{6}{4},\ \tfrac{7}{-3} 이 제각각이라 평행이 아니에요.
• 수직? 내적을 계산해요.

내적이 0 이니 법선끼리 수직이고, 따라서 두 평면도 수직이에요.

최종답: 수직이에요.

검산: 내적 계산을 다시 봐도 -3+24-21=0 으로 확실해요. 수직이므로 각을 따로 구할 필요가 없어요(각은 90^\circ).

법선벡터는 \mathbf{n}_1=\langle 1,\ 2,\ -1\rangle, \mathbf{n}_2=\langle 2,\ -2,\ 1\rangle 이에요.

• 평행? 비율 2,\ -1,\ -1 이 서로 달라 평행이 아니에요.
• 수직? 내적은

이라 수직도 아니에요. 그러면 각을 구해요. 두 평면 사이의 각은 법선 사이의 각(예각 기준)으로 계산해요.

최종답: 둘 다 아니고, 두 평면 사이의 각은 약 65.9^\circ 예요.

검산: \cos 65.9^\circ\approx 0.408\approx \tfrac{1}{\sqrt 6} 으로 되돌아가요. 분자에 절댓값을 씌워 예각 을 답하는 게 관례라는 점을 채점 때 기억하세요.

먼저 두 평면을 표준형 ax+by+cz=d 로 정리해요.

법선벡터는 \mathbf{n}_1=\langle 2,\ -3,\ -1\rangle, \mathbf{n}_2=\langle 4,\ -6,\ -2\rangle 예요. 그런데

로 정확히 스칼라배 관계예요. 법선이 평행하니 두 평면은 평행 이에요.

같은 평면(일치)인지도 확인해요. 첫 번째 식에 2를 곱하면 4x-6y-2z=0 인데 두 번째는 =3 이라 상수항이 달라요. 그러므로 일치하지 않는, 서로 떨어져 있는 평행한 두 평면이에요.

최종답: 평행해요. (일치하지는 않아요.)

검산: 첫 평면 위의 점 (0,0,0) 을 두 번째 식에 넣으면 0\ne 3 — 원점은 두 번째 평면 위에 없으니 두 평면이 서로 다른 평행 평면이라는 게 확인돼요.