(그림 문제 — 교재 PDF 참조) 그리기 부분은 교재의 그림 위에서 해야 하고, 접근법은 이래요.

• (a) \mathbf{r}(4.5)-\mathbf{r}(4) 는 곡선 위의 점 P=\mathbf{r}(4) 의 끝에서 R=\mathbf{r}(4.5) 의 끝으로 향하는 할선(secant) 벡터예요. \mathbf{r}(4.2)-\mathbf{r}(4) 도 마찬가지로 P 에서 Q=\mathbf{r}(4.2) 로 향하는 화살표예요.
• (b) 각 할선 벡터를 h=0.5,\ 0.2 로 나누면 길이가 2 배, 5 배로 늘어나요. h 가 작아질수록 이 벡터들의 방향이 점점 접선 방향에 가까워져요.
• (c) 도함수의 정의 그대로 써요.

• (d) \mathbf{T}(4) 는 P 에서 곡선의 접선 방향(진행 방향)을 가리키는 길이 1 짜리 화살표로 그려요. (b)에서 그린 벡터들과 방향이 거의 같고, 길이만 1로 맞춘 것이에요.

• (a) 매개변수를 소거해요. x=t-2 에서 t=x+2 이고, 이를 y=t^2+1 에 넣으면

꼭짓점이 (-2,1) 이고 위로 열린 포물선이에요. t 가 증가하면 왼쪽에서 오른쪽으로 진행해요.

• (b) 벡터함수의 도함수는 성분별로 미분하면 돼요.

• (c) t=-1 을 대입하면

위치벡터 \mathbf{r}(-1) 은 원점에서 곡선 위의 점 (-3,2) 로 그리고, 접선벡터 \mathbf{r}'(-1) 은 그 점 (-3,2) 에서 출발해 오른쪽 아래 \langle 1,-2\rangle 방향으로 그려요.

최종답: \mathbf{r}'(t)=\langle 1,\ 2t\rangle,   \mathbf{r}(-1)=\langle -3,2\rangle, \mathbf{r}'(-1)=\langle 1,-2\rangle

검산: 포물선 y=(x+2)^2+1 의 기울기는 y'=2(x+2) 이고 x=-3 에서 -2 예요. 접선벡터 \langle 1,-2\rangle 의 기울기도 -2/1=-2 로 일치해요.

• (a) x=e^{2t}=(e^{t})^2, y=e^{t} 이므로

포물선 x=y^2 의 위쪽 절반이에요(e^t>0 이라 y>0). t 증가 방향은 y 가 커지는 쪽이에요.

• (b) 지수함수의 연쇄법칙으로 성분별 미분해요.

• (c) t=0 에서

위치벡터는 원점에서 (1,1) 로, 접선벡터는 점 (1,1) 에서 \langle 2,1\rangle 방향으로 그려요.

최종답: \mathbf{r}'(t)=2e^{2t}\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j},   \mathbf{r}(0)=\mathbf{i}+\mathbf{j}, \mathbf{r}'(0)=2\,\mathbf{i}+\mathbf{j}

검산: 곡선 x=y^2 에서 \dfrac{dx}{dy}=2y 이고 점 (1,1) 에서 2 예요. 접선벡터 \langle 2,1\rangle 도 \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{2}{1}=2 로 일치해요.

• (a) x=4\sin t, y=-2\cos t 에서 \sin t=\dfrac{x}{4}, \cos t=-\dfrac{y}{2} 이고, \sin^2 t+\cos^2 t=1 을 쓰면

가로 반지름 4, 세로 반지름 2인 타원이에요. t=0 에서 (0,-2) 를 출발해 반시계 방향으로 돌아요.

• (b) 성분별로 미분해요.

• (c) t=\dfrac{3\pi}{4} 에서 \sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} 이므로

위치벡터는 원점에서 타원 위의 점 (2\sqrt{2},\sqrt{2}) 로, 접선벡터는 그 점에서 왼쪽 위 방향으로 그려요(반시계 진행과 일치).

최종답: \mathbf{r}'(t)=4\cos t\,\mathbf{i}+2\sin t\,\mathbf{j},   \mathbf{r}(3\pi/4)=\langle 2\sqrt{2},\ \sqrt{2}\rangle, \mathbf{r}'(3\pi/4)=\langle -2\sqrt{2},\ \sqrt{2}\rangle

검산: 점 (2\sqrt{2},\sqrt{2}) 를 타원 식에 넣으면 \dfrac{8}{16}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 로 곡선 위의 점이 맞아요.

성분별로 미분해요. 각 성분은 일변수 함수라서 배운 미분 공식을 그대로 쓰면 돼요.

• 첫째 성분: \dfrac{d}{dt}\sqrt{t-2}=\dfrac{1}{2\sqrt{t-2}} (거듭제곱 법칙 + 연쇄법칙)
• 둘째 성분: 상수 3 의 도함수는 0
• 셋째 성분: \dfrac{d}{dt}t^{-2}=-2t^{-3}=-\dfrac{2}{t^3}

최종답: \mathbf{r}'(t)=\left\langle \dfrac{1}{2\sqrt{t-2}},\ 0,\ -\dfrac{2}{t^3}\right\rangle   (정의역은 t>2)

성분별 미분인데, 둘째·셋째 성분에 연쇄법칙이 필요해요.

• \dfrac{d}{dt}t^2=2t
• \dfrac{d}{dt}\cos(t^2)=-\sin(t^2)\cdot 2t=-2t\sin(t^2) (바깥 \cos 미분 후 안쪽 t^2 미분을 곱해요)
• \dfrac{d}{dt}\sin^2 t=2\sin t\cos t=\sin 2t (이중각 공식으로 정리)

최종답: \mathbf{r}'(t)=2t\,\mathbf{i}-2t\sin(t^2)\,\mathbf{j}+\sin 2t\,\mathbf{k}

세 성분 모두 곱의 미분법을 써요.

• \dfrac{d}{dt}(t\sin t)=1\cdot\sin t+t\cos t=\sin t+t\cos t
• \dfrac{d}{dt}(e^t\cos t)=e^t\cos t+e^t(-\sin t)=e^t(\cos t-\sin t)
• \dfrac{d}{dt}(\sin t\cos t)=\cos t\cdot\cos t+\sin t\cdot(-\sin t)=\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t

최종답: \mathbf{r}'(t)=(\sin t+t\cos t)\,\mathbf{i}+e^{t}(\cos t-\sin t)\,\mathbf{j}+\cos 2t\,\mathbf{k}

검산: 셋째 성분은 \sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin 2t 로 먼저 정리하고 미분해도 \tfrac{1}{2}\cdot 2\cos 2t=\cos 2t 로 같아요.

상수벡터는 미분하면 \mathbf{0} 이고, 스칼라 함수 곱은 \dfrac{d}{dt}[f(t)\mathbf{u}]=f'(t)\mathbf{u} (상수벡터일 때)로 계산해요.

• \dfrac{d}{dt}\mathbf{a}=\mathbf{0}
• \dfrac{d}{dt}(t\,\mathbf{b})=\mathbf{b}
• \dfrac{d}{dt}(t^2\,\mathbf{c})=2t\,\mathbf{c}

최종답: \mathbf{r}'(t)=\mathbf{b}+2t\,\mathbf{c}

단위접선벡터는 도함수를 자기 크기로 나눈 것이에요: \mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{r}'(t)}{\vert\mathbf{r}'(t)\vert}.

먼저 성분별로 미분해요.

t=2 를 대입해요.

크기를 구해요.

크기로 나누면

최종답: \mathbf{T}(2)=\left\langle \dfrac{2}{7},\ \dfrac{3}{7},\ \dfrac{6}{7}\right\rangle

검산: \left(\tfrac{2}{7}\right)^2+\left(\tfrac{3}{7}\right)^2+\left(\tfrac{6}{7}\right)^2=\dfrac{4+9+36}{49}=1 이라 정말 단위벡터예요.

먼저 미분해요. \sin 2t 는 연쇄법칙으로 2\cos 2t 가 나와요.

t=0 을 대입해요.

크기는

따라서

최종답: \mathbf{T}(0)=\dfrac{3}{5}\,\mathbf{j}+\dfrac{4}{5}\,\mathbf{k}

검산: \left(\tfrac{3}{5}\right)^2+\left(\tfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{9+16}{25}=1 ✓

이번엔 t 값이 아니라 점이 주어졌으니, 먼저 그 점에 대응하는 t 를 찾아요.

첫째 성분에서 t^3+1=2 이므로 t^3=1, 즉 t=1 이에요. 확인하면 3(1)-5=-2 ✓, \dfrac{4}{1}=4 ✓ 로 세 성분이 모두 맞아요.

미분해요.

크기는

따라서

최종답: \mathbf{T}(1)=\left\langle \dfrac{3}{\sqrt{34}},\ \dfrac{3}{\sqrt{34}},\ -\dfrac{4}{\sqrt{34}}\right\rangle

검산: 성분 제곱합이 \dfrac{9+9+16}{34}=1 이라 단위벡터가 맞아요.

하나씩 차례로 계산해요.

① 도함수: 성분별 거듭제곱 법칙으로

② 단위접선벡터 \mathbf{T}(1): \mathbf{r}'(1)=\langle 4,\ 1,\ 2\rangle 이고 \vert\mathbf{r}'(1)\vert=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21} 이므로

③ 2계 도함수: \mathbf{r}'(t) 를 한 번 더 미분해요.

④ 외적: 행렬식으로 전개해요.

\mathbf{j} 성분은 -(8t^3-24t^3)=16t^3 이에요.

최종답: \mathbf{r}'(t)=\langle 4t^3,\ 1,\ 2t\rangle,   \mathbf{T}(1)=\dfrac{1}{\sqrt{21}}\langle 4,\ 1,\ 2\rangle,   \mathbf{r}''(t)=\langle 12t^2,\ 0,\ 2\rangle,   \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=\langle 2,\ 16t^3,\ -12t^2\rangle

검산: 외적은 두 벡터 모두와 수직이어야 해요. \langle 2,16t^3,-12t^2\rangle\cdot\langle 4t^3,1,2t\rangle=8t^3+16t^3-24t^3=0 ✓

접선의 방향벡터는 그 점에서의 \mathbf{r}'(t) 예요. 먼저 점에 대응하는 t 를 찾아요.

y=4\sqrt{t}=4 에서 t=1 이에요. 확인: x=1+1=2 ✓, z=e^{1-1}=e^0=1 ✓.

각 성분을 미분해요.

t=1 에서 방향벡터는

점 (2,4,1) 을 지나고 방향이 \langle 2,2,1\rangle 인 직선이니까

최종답: x=2+2t,   y=4+2t,   z=1+t

검산: t=0 을 넣으면 (2,4,1) 로 주어진 점을 지나요.

점에 대응하는 t 부터 찾아요. z=e^{-t}=1 에서 t=0 이에요. 확인: x=e^0\cos 0=1 ✓, y=e^0\sin 0=0 ✓.

곱의 미분법으로 각 성분을 미분해요.

t=0 을 대입하면 방향벡터는

따라서 접선은

최종답: x=1-t,   y=t,   z=1-t

검산: t=0 에서 (1,0,1) 을 지나고, 방향 \langle -1,1,-1\rangle 은 위에서 구한 \mathbf{r}'(0) 그대로예요.

교차곡선을 매개변수화해요. 첫 번째 원기둥에서

로 두면, 두 번째 식에서 z^2=20-y^2=20-25\sin^2 t, 즉 z=\sqrt{20-25\sin^2 t} (점의 z=2>0 이므로 양의 근)예요.

점 (3,4,2) 에서는 \cos t=\dfrac{3}{5}, \sin t=\dfrac{4}{5} 예요. (z=\sqrt{20-16}=2 ✓)

미분해요. x'=-5\sin t, y'=5\cos t 이고, z 는 z^2=20-y^2 을 음함수 미분하는 게 깔끔해요.

이 점에서 x'=-5\cdot\dfrac{4}{5}=-4, y'=5\cdot\dfrac{3}{5}=3, z'=-\dfrac{4\cdot 3}{2}=-6 이에요.

방향벡터가 \langle -4,\ 3,\ -6\rangle 이므로 접선의 벡터방정식은

최종답: \mathbf{r}(t)=(3-4t)\,\mathbf{i}+(4+3t)\,\mathbf{j}+(2-6t)\,\mathbf{k}

검산: 접선 방향은 두 곡면 모두에 접해야 해요. x^2+y^2=25 의 법선 \langle 6,8,0\rangle 과의 내적은 -24+24=0 ✓, y^2+z^2=20 의 법선 \langle 0,8,4\rangle 과의 내적은 24-24=0 ✓ 으로 둘 다 수직이에요.

x=t=0 에서 t=0 이에요. 확인: y=e^0=1 ✓, z=0 ✓.

미분해요.

t=0 에서 방향벡터는 \langle 1,\ -1,\ 2\rangle 이므로 접선은

그래프 확인은 GeoGebra 3D나 파이썬(matplotlib) 등으로 곡선 \langle t,\ e^{-t},\ 2t-t^2\rangle 과 위 직선을 같이 그리면, 직선이 점 (0,1,0) 에서 곡선에 딱 붙어 스치는 모습을 볼 수 있어요.

최종답: x=t,   y=1-t,   z=2t

검산: t=0 에서 (0,1,0) 을 지나요. 접선의 y 는 t 당 -1 씩 변하는데, 곡선의 y=e^{-t} 도 t=0 근방에서 e^{-t}\approx 1-t 라 일치해요.

y=t=\pi 에서 t=\pi 예요. 확인: x=\pi\cos\pi=-\pi ✓, z=\pi\sin\pi=0 ✓.

곱의 미분법으로 미분해요.

t=\pi 에서 \cos\pi=-1, \sin\pi=0 이므로

따라서 접선은

그래프는 이 곡선(원뿔 나선 모양)과 직선을 함께 그려서 (-\pi,\pi,0) 에서 접하는지 확인하면 돼요.

최종답: x=-\pi-t,   y=\pi+t,   z=-\pi t

검산: t=0 에서 (-\pi,\pi,0) 을 지나고, 방향벡터 \langle -1,1,-\pi\rangle 는 수치미분으로도 (-1,\ 1,\ -3.1416) 이 나와 일치해요.

교차각 = 교점에서 두 접선벡터가 이루는 각이에요.

두 곡선 모두 t=0 에서 원점을 지나요: \mathbf{r}_1(0)=\langle 0,0,0\rangle, \mathbf{r}_2(0)=\langle 0,0,0\rangle.

각 곡선의 접선벡터를 구해요.

내적으로 사잇각을 구해요.

최종답: \theta=\cos^{-1}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\approx 66^\circ

검산: \dfrac{1}{\sqrt{6}}\approx 0.408 이고 \cos 66^\circ\approx 0.407 로 일치해요.

벡터함수의 정적분은 성분별로 적분하면 돼요.

부호까지 붙여 모으면

최종답: 2\,\mathbf{i}-4\,\mathbf{j}+32\,\mathbf{k}

검산: 셋째 성분의 원시함수 \dfrac{t^6}{2} 를 미분하면 3t^5 로 피적분함수와 같아요.

성분별로 적분해요. 셋 다 기본 적분 공식이에요.

• 첫째: \displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{t+1}=\Big[\ln(t+1)\Big]_0^1=\ln 2-\ln 1=\ln 2
• 둘째: \displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{t^2+1}=\Big[\tan^{-1}t\Big]_0^1=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}
• 셋째: 분자가 분모 도함수의 절반이라 u=t^2+1 치환으로

최종답: \ln 2\,\mathbf{i}+\dfrac{\pi}{4}\,\mathbf{j}+\dfrac{1}{2}\ln 2\,\mathbf{k}

검산: \dfrac{1}{2}\ln(t^2+1) 을 미분하면 \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{t^2+1}=\dfrac{t}{t^2+1} ✓

부정적분이니 성분별로 적분하고 마지막에 상수벡터 \mathbf{C} 를 붙여요.

• 첫째: \displaystyle\int\frac{dt}{1+t^2}=\tan^{-1}t
• 둘째: u=t^2 치환(du=2t\,dt)으로 \displaystyle\int t\,e^{t^2}dt=\frac{1}{2}e^{t^2}
• 셋째: \displaystyle\int t^{1/2}dt=\frac{2}{3}t^{3/2}

최종답: \tan^{-1}t\,\mathbf{i}+\dfrac{1}{2}e^{t^2}\,\mathbf{j}+\dfrac{2}{3}t^{3/2}\,\mathbf{k}+\mathbf{C}

검산: 각 성분을 미분하면 \dfrac{1}{1+t^2}, \dfrac{1}{2}e^{t^2}\cdot 2t=t e^{t^2}, \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}t^{1/2}=\sqrt{t} 로 모두 원래 피적분함수예요.

도함수가 주어졌으니 부정적분 후 초기조건으로 상수벡터를 결정해요.

t=1 을 대입하고 조건 \mathbf{r}(1)=\mathbf{i}+\mathbf{j} 과 비교해요.

따라서

최종답: \mathbf{r}(t)=t^2\,\mathbf{i}+t^3\,\mathbf{j}+\dfrac{2}{3}\left(t^{3/2}-1\right)\mathbf{k}

검산: 미분하면 2t\,\mathbf{i}+3t^2\,\mathbf{j}+t^{1/2}\,\mathbf{k} 로 주어진 \mathbf{r}' 와 같고, t=1 에서 \mathbf{k} 성분이 0 이라 \mathbf{r}(1)=\mathbf{i}+\mathbf{j} ✓

전략: 벡터함수의 미분은 성분별 미분이니까, 일변수 함수의 합의 미분법으로 환원해요.

\mathbf{u}(t)=\langle u_1(t),\ u_2(t),\ u_3(t)\rangle, \mathbf{v}(t)=\langle v_1(t),\ v_2(t),\ v_3(t)\rangle 로 두면

성분별로 미분하는데, 각 성분은 스칼라 함수라서 합의 미분법 (f+g)'=f'+g' 이 성립해요.

마지막 식을 두 벡터로 다시 나누면

최종답: 성분별 합의 미분법으로 \dfrac{d}{dt}[\mathbf{u}+\mathbf{v}]=\mathbf{u}'+\mathbf{v}' 이 증명됐어요. \blacksquare

전략: 외적을 성분으로 풀어 쓴 뒤, 각 성분에 스칼라 곱의 미분법 (fg)'=f'g+fg' 을 적용해요.

외적의 첫째 성분은 \left(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\right)_1=u_2v_3-u_3v_2 예요. 미분하면

곱의 미분법으로 네 항이 나오는데, \mathbf{u} 쪽을 미분한 항끼리 모으면 (\mathbf{u}'\times\mathbf{v}) 의 첫째 성분, \mathbf{v} 쪽을 미분한 항끼리 모으면 (\mathbf{u}\times\mathbf{v}') 의 첫째 성분이 돼요.

둘째 성분 u_3v_1-u_1v_3, 셋째 성분 u_1v_2-u_2v_1 도 첨자만 순환(1\to 2\to 3\to 1)할 뿐 완전히 같은 계산이에요.

세 성분을 모두 모으면

최종답: 성분별 곱의 미분법으로 증명 완료예요. \blacksquare   (주의: 외적은 교환법칙이 성립하지 않으니 \mathbf{u}'\times\mathbf{v} 와 \mathbf{u}\times\mathbf{v}' 의 순서를 바꾸면 안 돼요.)

공식 4는 내적의 미분법이에요.

먼저 도함수를 구해요.

두 내적을 각각 계산해요.

더하면

최종답: \dfrac{d}{dt}\left[\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\right]=2t\cos t+2\sin t-\sin 2t

검산: 직접 내적부터 계산하면 \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=t\sin t+\cos^2 t+t\sin t=2t\sin t+\cos^2 t 이고, 이를 미분하면 2\sin t+2t\cos t-2\cos t\sin t 로 위 결과와 정확히 같아요.

내적의 미분법을 써요.

\mathbf{v} 쪽은 식이 주어졌으니 직접 계산해요.

t=2 에서 두 내적을 계산해요.

더하면

최종답: f'(2)=35

먼저 미분해요. 상수벡터에 스칼라 함수가 곱해진 꼴이라

외적을 전개해요. 외적은 각 항에 대해 분배법칙이 성립하고, 스칼라는 밖으로 뺄 수 있어요.

네 항으로 펼치면

여기서 자기 자신과의 외적은 영벡터(\mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{b}\times\mathbf{b}=\mathbf{0})라 첫째·넷째 항이 사라지고, \mathbf{b}\times\mathbf{a}=-\mathbf{a}\times\mathbf{b} (반교환성)를 쓰면

\cos^2+\sin^2=1 이므로

최종답: 증명 완료 — 시간에 무관한 상수벡터 \omega\,\mathbf{a}\times\mathbf{b} 가 돼요. \blacksquare (물리적으로는 타원 운동의 각운동량이 보존된다는 뜻이에요.)

외적의 미분법(정리 3의 공식 5)을 \mathbf{u}=\mathbf{r}, \mathbf{v}=\mathbf{r}' 에 적용해요.

여기서 핵심은 같은 벡터끼리의 외적은 영벡터라는 사실이에요. 즉 \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'=\mathbf{0} 이므로 첫째 항이 사라져요.

최종답: 증명 완료예요. \blacksquare (곱의 미분법과 \mathbf{v}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}, 딱 두 가지만 쓰면 돼요. 문제 53의 검산에도 쓸 수 있는 유용한 항등식이에요.)

힌트대로 크기의 제곱을 내적으로 표현한 식에서 출발해요.

양변을 t 로 미분해요. 좌변은 스칼라 함수 \vert\mathbf{r}(t)\vert 의 제곱이니 연쇄법칙으로, 우변은 내적의 미분법으로 미분해요.

(내적은 교환법칙이 성립해서 두 항이 같아요.)

\mathbf{r}(t)\neq\mathbf{0} 이므로 \vert\mathbf{r}(t)\vert>0 이고, 양변을 2\vert\mathbf{r}(t)\vert 로 나눌 수 있어요.

최종답: 증명 완료예요. \blacksquare (조건 \mathbf{r}\neq\mathbf{0} 은 \vert\mathbf{r}\vert 로 나누기 위해, 그리고 \vert\mathbf{r}\vert 가 \mathbf{0} 에서 미분 불가능할 수 있어서 꼭 필요해요.)

\mathbf{u}(t) 는 스칼라 삼중적이에요. 내적의 미분법을 먼저 적용해요.

첫째 항: \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' 은 외적의 성질상 \mathbf{r}' 과 수직이에요. 수직인 두 벡터의 내적은 0이므로

(같은 벡터가 두 번 들어간 스칼라 삼중적은 0 — 부피가 0인 납작한 평행육면체라고 봐도 돼요.)

둘째 항: 외적의 미분법으로

(\mathbf{r}''\times\mathbf{r}''=\mathbf{0} 이라 사라져요.)

둘을 합치면

최종답: 증명 완료예요. \blacksquare (이 양은 13.3절의 비틀림(torsion) 계산에 등장하는 스칼라 삼중적이라 곧 다시 만나요.)