한눈에 보기
지금까지 함수는 입력 하나, 출력 하나(y = f(x))였어요. 14장부터는 입력이 여러 개예요. 예를 들어 z = f(x, y)는 값 두 개(x, y)를 넣으면 하나(z)가 나오는 함수죠. 이걸 다변수함수(function of several variables)라고 해요. 그래프는 곡선이 아니라 곡면이 되고, 지도의 등고선처럼 나타내면 훨씬 읽기 쉬워져요.
- 다변수함수 z = f(x, y)와 그 정의역(입력이 사는 영역)
- 그래프 = 공간의 곡면
- 등고선(level curve) — 같은 높이를 이은 선
먼저 알아야 할 것
개념 설명
입력 여러 개, 출력 하나
z = f(x, y)는 두 입력 x, y의 조합마다 값 z를 하나 정해줘요. 예를 들어 f(x, y) = x^2 + y^2은 원점에서 멀수록 큰 값을 주는 함수예요. 정의역(domain)은 입력 (x, y)가 살 수 있는 xy평면 위의 영역이에요. 예컨대 f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}은 루트 안이 0 이상이어야 하니, 정의역이 반지름 3인 원 안쪽이죠. f(x, y) = \ln(y - x)라면 로그 안이 양수여야 하니 정의역은 y > x, 즉 직선 y = x의 위쪽 반평면 전체예요 — 1변수의 "구간"이 아니라 평면 위의 넓은 영역이 정의역이 되는 거예요.
입력이 셋 이상(f(x, y, z))일 수도 있어요 — 개념은 똑같아요. 다만 그래프를 그리기는 어려워져요(뒤에서 설명).
그래프는 곡면
z = f(x, y)의 그래프는 공간의 곡면이에요. 각 점 (x, y) 위에 높이 z = f(x, y)를 세우면, 그 점들이 모여 곡면을 이루죠. f(x, y) = x^2 + y^2의 그래프는 위로 열린 그릇(타원포물면)이에요 — 12.6에서 본 그 곡면이 바로 다변수함수의 그래프였던 거예요.
등고선 — 3D를 2D 지도로
곡면을 매번 3D로 그리긴 번거로워요. 그래서 지도처럼 등고선(level curve)을 써요. "높이가 k인 점들"을 이은 곡선, 즉 f(x, y) = k를 xy평면에 그리는 거예요. 등산 지도의 등고선과 똑같아요 — 선이 촘촘하면 가파르고, 성기면 완만하죠.
f(x, y) = x^2 + y^2의 등고선은 x^2 + y^2 = k, 즉 동심원들이에요. 바깥으로 갈수록 원 간격이 좁아지니, 그릇이 위로 갈수록 가팔라진다는 걸 지도만 보고도 알 수 있어요.
물론 등고선이 늘 원인 건 아니에요. f(x, y) = y - x^2의 등고선은 y = x^2 + k — 같은 포물선을 위아래로 평행이동한 가족이에요. 함수마다 등고선의 무늬가 달라서, 그 무늬만 봐도 곡면의 생김새를 짐작할 수 있어요.
3변수 f(x, y, z)는 그래프가 4차원이라 못 그려요. 대신 "값이 k인 점들"이 이루는 등위면(level surface) f(x,y,z)=k로 나타내요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}의 정의역과 등고선을 봅시다.
- 정의역: 루트 안이 0 이상 → 9 - x^2 - y^2 \ge 0 → x^2 + y^2 \le 9. 즉 반지름 3인 원(경계 포함) 안쪽이에요.
- 등고선 f = k: \sqrt{9 - x^2 - y^2} = k → x^2 + y^2 = 9 - k^2. k마다 반지름 \sqrt{9 - k^2}인 원이에요.
- 그래프: 사실 이 함수는 반지름 3인 반구(위쪽)의 겉면이에요. k가 커질수록(높이 올라갈수록) 등고선 원이 작아지죠 — 돔 지붕처럼.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 다변수함수 = 입력 여러 개 → 출력 하나. z = f(x, y)가 기본형.
- 정의역은 xy평면의 영역, 그래프는 공간의 곡면.
- 등고선 f(x,y)=k로 곡면을 2D 지도처럼 읽어요(촘촘=가파름).
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 14.3 편미분이 "한 방향으로의 기울기", 14.6 그래디언트가 "가장 가파른 방향"이에요. 그리고 이 곡면의 최저점을 찾는 게(14.7) 곧 머신러닝의 학습이에요.