한눈에 보기
1변수에서 극한은 "왼쪽에서 다가가나, 오른쪽에서 다가가나" 딱 두 방향만 맞춰보면 됐어요. 그런데 다변수 f(x, y)에서는 한 점으로 다가가는 길이 무한히 많아요 — 직선으로, 곡선으로, 빙글 돌면서까지. 그래서 다변수 극한은 "어느 경로로 다가가든 항상 같은 값"일 때만 존재해요. 경로 두 개만 골랐는데 값이 다르면, 극한은 없는 거예요.
- 다변수 극한이 "모든 경로에서 같은 값"이어야 하는 이유
- 경로 두 개로 극한이 없음을 보이는 법 (핵심 무기)
- 연속의 정의, 그리고 어떤 함수들이 연속인가
먼저 알아야 할 것
개념 설명
다가가는 길이 무한히 많다
1변수에서 x가 a로 다가가는 길은 왼쪽·오른쪽 딱 둘이에요. 수직선 위니까요. 그런데 (x, y)가 점 (a, b)로 다가가는 건 평면 위의 일이라, 다가가는 길이 사방팔방 무한히 많아요. x축을 따라 올 수도, y축을 따라 올 수도, 대각선 y = x를 따라 올 수도, 나선을 그리며 올 수도 있죠.
극한 \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x, y) = L이 존재한다는 건, 이 모든 길에서 값이 똑같이 L로 모인다는 뜻이에요. 하나라도 다른 값으로 가는 길이 있으면 극한은 없어요.
경로가 다르면 극한이 없다
이게 극한이 없음을 보이는 강력한 방법이에요. 서로 다른 경로 두 개를 골라 값을 계산했는데 결과가 다르면, 그것만으로 "극한 없음"이 증명돼요. 반대로, 경로 몇 개에서 같은 값이 나온다고 극한이 있다고 단정하면 안 돼요 — 못 골라본 어떤 경로에서 다를 수 있으니까요. 그러니 경로 비교는 "없음을 보이는 데"만 확실하게 쓸 수 있어요.
연속이란
한 점에서 극한값과 함숫값이 같으면 그 점에서 연속이에요. 식으로는 이래요:
직관적으로는 곡면에 구멍이나 찢어짐, 갑작스러운 절벽 없이 매끄럽게 이어진다는 뜻이에요. 다행히 우리가 아는 좋은 함수들은 정의역 안에서 다 연속이에요 — 다항함수(예: x^2 + xy), 유리함수(다항식 나누기 다항식, 분모가 0 아닌 곳에서), 그리고 \sin, \cos, e^x, \ln 같은 초월함수요. 이들을 더하고 곱하고 합성해도 연속이 유지돼요. 그래서 대부분의 점에서는 그냥 값을 대입하면 극한이 나와요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
대표 예제예요. f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}가 원점 (0,0)에서 극한을 갖는지 봅시다. (원점에서 분모가 0이라 값 대입은 안 되니, 다가가며 살펴봐야 해요.)
경로 1 — x축을 따라 다가가기 (y = 0):
x축 위에서는 어디서나 값이 0이니, 이 길로는 0에 모여요.
경로 2 — 직선 y = x를 따라 다가가기:
이 길로는 어디서나 값이 \tfrac12이에요.
두 경로의 값이 0과 \tfrac12로 다르죠. 한 점으로 다가가는데 길에 따라 도착값이 다르니, 원점에서 극한은 없어요. 참고로 y축(x=0)으로 가도 값은 0이라, 두 축만 봤다면 "0인가 보다" 착각했을 텐데, y=x 한 경로가 그걸 깨뜨려요. 경로 하나만 반례로 찾으면 끝난다는 게 이 방법의 힘이에요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 다변수 극한은 모든 경로로 다가가도 같은 값일 때만 존재해요(1변수의 좌·우 둘과 달리 길이 무한).
- 서로 다른 경로 두 개에서 값이 다르면 극한 없음 — 이게 부재를 보이는 확실한 방법이에요.
- 대표 반례: \dfrac{xy}{x^2+y^2}은 원점에서 x축(값 0)과 y=x(값 \tfrac12)가 달라 극한이 없어요.
- 연속 = 극한값 = 함숫값. 다항·유리·초월함수는 정의역 안에서 연속이라 대개 대입이면 돼요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 14.3 편도함수도 이 절의 극한으로 정의돼요. 반전 하나 — 편미분이 존재해도 연속이 아닐 수 있어요(위의 반례 함수에 f(0,0)=0을 붙이면 편미분은 둘 다 0으로 존재하지만 원점에서 불연속이에요). "진짜 매끄러움"(미분가능)은 14.4에서 정확히 정의해요.