한눈에 보기
1변수에서 곡선 y = f(x)의 한 점에 접선을 그으면, 그 근처에서는 곡선이 직선과 거의 겹쳐 보였어요. 이걸 이용해 복잡한 함수를 직선으로 어림한 게 선형근사였죠. 14.4는 이걸 곡면으로 올려요. 곡면 z = f(x, y)의 한 점에서 접선 대신 접평면을 붙이고, 그 근처에서는 곡면이 평면과 거의 겹친다는 사실로 함숫값을 어림해요.
- 접평면: 곡면의 한 점에 딱 붙는 평평한 판
- 선형근사: 근처 점의 함숫값을 접평면으로 어림
- 전미분 dz: 입력이 조금 변할 때 출력이 얼마나 변할지 추정
먼저 알아야 할 것
개념 설명
접선에서 접평면으로
1변수에서 접선은 곡선에 "한 방향"으로 붙는 직선이었어요. 곡면은 방향이 두 개(x, y)라, 한 점에 붙는 건 직선이 아니라 평면이에요. 곡면 위 점 (a, b)를 지나면서, x 방향으로는 기울기 f_x(a, b)로, y 방향으로는 기울기 f_y(a, b)로 기울어진 평면. 이 평면이 그 점에서 곡면과 가장 잘 겹쳐요.
접평면의 식
접평면의 방정식은 이렇게 생겼어요:
읽어보면 1변수 접선 z = f(a) + f'(a)(x - a)에 y 항 f_y(a, b)(y - b)가 하나 더 붙은 꼴이에요. f(a, b)는 "출발 높이", 뒤의 두 항은 "x로 움직인 만큼 + y로 움직인 만큼" 높이가 오르내리는 양이죠.
선형근사
접평면이 곡면에 딱 붙으니, 점 (a, b) 근처에서는 곡면의 높이 f(x, y)를 접평면의 높이로 바꿔치기해도 거의 맞아요. 이 어림을 선형근사(linear approximation) 라고 해요:
우변을 선형화(linearization) L(x, y)라고 불러요. 곡면 대신 평면을 계산하는 거라 훨씬 쉽죠. 단, (a, b)에서 멀어지면 오차가 커져요 — 어디까지나 국소적인 어림이에요.
전미분
입력을 x는 dx만큼, y는 dy만큼 아주 조금 흔들면 출력 z는 얼마나 변할까요? 그 추정치가 전미분(total differential) 이에요:
"x 방향 기울기 \times x의 변화 + y 방향 기울기 \times y의 변화"예요. 실제 변화량 \Delta z의 근삿값이고, 두 입력의 오차가 결과에 어떻게 합쳐지는지 보여줘요.
미분가능성
접평면이 "잘" 존재하려면 곡면이 그 점에서 충분히 매끄러워야 해요. 이걸 미분가능(differentiable) 하다고 해요 — 편도함수 f_x, f_y가 존재하고 근처에서 연속이면 충분해요. 미분가능하면 위의 선형근사 오차가 (a,b)로 다가갈수록 거리보다도 빠르게 0으로 줄어요. 즉 접평면이 진짜로 곡면에 밀착한다는 뜻이에요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
f(x, y) = x^2 + y^2의 점 (1, 2)에서 접평면을 구하고, f(1.1, 1.95)를 어림해 봅시다.
- 출발 높이: f(1, 2) = 1^2 + 2^2 = 5.
- 편도함수: f_x = 2x, f_y = 2y. 대입하면 f_x(1, 2) = 2, f_y(1, 2) = 4.
- 접평면: z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2).
- 선형근사로 f(1.1, 1.95) 어림: dx = 0.1, dy = -0.05이니
- 실제값과 비교: f(1.1, 1.95) = 1.21 + 3.8025 = 5.0125. 어림값 5.0과 거의 같죠 — 오차 0.0125뿐이에요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 접평면 = 곡면의 한 점에 붙는 평면, 기울기가 f_x, f_y: z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b).
- 선형근사: 근처 점의 함숫값을 접평면(선형화 L)으로 어림해요. 국소적으로만 정확해요.
- 전미분 dz = f_x\,dx + f_y\,dy: 입력의 작은 변화가 출력 변화로 번지는 양을 추정해요(오차 전파).
- 접평면이 잘 존재하는 매끄러움이 미분가능성이에요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 14.5 연쇄법칙이 dz = f_x\,dx + f_y\,dy를 시간 등 다른 변수로 이어붙이고, 14.7 최적화는 접평면이 수평이 되는 점(기울기 0)에서 극값을 찾아요.