14.5 연쇄법칙

The Chain Rule

한눈에 보기

14.3에서 배운 편미분은 "한 변수만 움직일 때"의 기울기였어요. 그런데 실제로는 x와 y가 둘 다 어떤 시간 t에 묶여 함께 움직이는 일이 많아요. 이럴 때 z가 t에 따라 얼마나 변하는지(dz/dt)를 구하는 게 바로 다변수 연쇄법칙(chain rule)이에요. 핵심 한 줄: 각 경로가 만든 변화를 전부 더한다.

z=f(x,y), x=x(t), y=y(t)일 때 dz/dt 구하기
나무 그림(tree diagram)으로 경로를 세는 직관
매개변수가 여럿일 때, 그리고 음함수 미분에의 응용

먼저 알아야 할 것

개념 설명

왜 "더하기"일까

z=f(x,y)에서 x와 y가 각각 t에 묶여 있다고 해봐요. t를 조금 \Delta t만큼 밀면, x도 조금 변하고 y도 조금 변해요. z의 전체 변화는 이 두 원인이 만든 변화의 합이에요:

x가 변해서 생긴 z 변화 \approx \dfrac{\partial f}{\partial x}\,\Delta x
y가 변해서 생긴 z 변화 \approx \dfrac{\partial f}{\partial y}\,\Delta y

둘을 더하고 \Delta t로 나눈 뒤 극한을 보내면 연쇄법칙이 나와요:

\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

x가 만든 기여와 y가 만든 기여를 각각 계산해 합친다 — 이게 전부예요.

나무 그림

경로를 놓치지 않는 가장 쉬운 방법이 나무 그림이에요. 맨 위에 z를 두고, z가 의존하는 변수 x, y로 가지를 쳐요. 다시 x와 y 각각에서 진짜 독립변수 t로 가지를 내려요.

z \;\longrightarrow\; \{x,\ y\} \;\longrightarrow\; t

가지 하나에는 그 미분을 적어요. z{\to}x 가지엔 \partial z/\partial x, x{\to}t 가지엔 dx/dt.
한 경로(위에서 아래까지)는 가지들을 곱해요. z{\to}x{\to}t 경로는 \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}.
z에서 t로 가는 경로가 여럿이면 전부 더해요. 여기선 x를 지나는 길과 y를 지나는 길, 두 경로를 합치죠.

"경로마다 곱하고, 경로끼리 더한다" — 아무리 복잡한 상황도 이 규칙이면 식을 정확히 세울 수 있어요.

매개변수가 여럿일 때

이번엔 x=x(s,t), y=y(s,t)처럼 밑변수가 둘이라고 해봐요. 그러면 z도 s와 t의 함수가 되고, t로 미분할 땐 s를 상수로 두니 편미분을 써요:

\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}

\partial z/\partial s도 똑같은 꼴이에요. 나무 그림에서 맨 아래 t로 내려가는 경로만 골라 곱하고 더하면 돼요. 밑변수가 하나면 곧은 d/dt, 여럿이면 \partial/\partial t — 이 차이만 챙기면 됩니다.

음함수 미분

F(x,y)=0처럼 y가 x에 숨어 있는 관계(음함수)에서도 연쇄법칙이 힘을 발휘해요. 양변을 x로 미분하면 \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0, 따라서

\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}

y를 x로 직접 풀지 않고도 기울기를 얻는 깔끔한 공식이에요.

수식 하나하나 뜯어보기

수식 뜯어보기

다변수 연쇄법칙 (매개변수 하나)

\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

기호	읽는 법	뜻
\dfrac{dz}{dt}	"디제트 디티"	t가 변할 때 z의 총 변화율
\dfrac{\partial f}{\partial x}	"라운드 에프 라운드 엑스"	y 고정, x로만 본 기울기
\dfrac{dx}{dt}	"디엑스 디티"	t에 따른 x의 변화율

문장으로 읽으면: "z의 변화율은, x를 거쳐 온 몫(\partial f/\partial x \cdot dx/dt)과 y를 거쳐 온 몫을 더한 것이에요."

손으로 따라가는 예제

z = x^2 y, x=\cos t, y=\sin t일 때 dz/dt를 구해봐요.

편미분 먼저: \dfrac{\partial z}{\partial x} = 2xy, \dfrac{\partial z}{\partial y} = x^2.
밑변수 미분: \dfrac{dx}{dt} = -\sin t, \dfrac{dy}{dt} = \cos t.
연쇄법칙에 대입:

\frac{dz}{dt} = (2xy)(-\sin t) + (x^2)(\cos t)

x=\cos t, y=\sin t를 다시 넣어 정리:

\frac{dz}{dt} = -2\cos t\sin^2 t + \cos^3 t

검산해볼까요? 먼저 대입하면 z=\cos^2 t\sin t이고, 곱의 법칙으로 바로 미분하면 2\cos t(-\sin t)\sin t + \cos^2 t\cos t = -2\cos t\sin^2 t + \cos^3 t. 정확히 같아요. 연쇄법칙이 제대로 작동한 거예요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

z=f(x,y)이고 x,y가 t에 묶이면 \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} — 경로마다 곱하고, 경로끼리 더해요.
나무 그림으로 경로를 세면 아무리 복잡한 합성도 식을 정확히 세울 수 있어요.
밑변수가 여럿이면 \partial/\partial t로 바뀌고, 음함수 F(x,y)=0에선 \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}.
뒤에서 다시 만나는 곳: 14.6에서 이 연쇄법칙이 그래디언트와 방향도함수로 압축돼요(dz/dt = \nabla f\cdot \mathbf{r}'). 그리고 신경망 학습의 역전파가 바로 이 규칙을 층층이 적용한 것이에요.

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