한눈에 보기
지금까지 함수의 출력은 대부분 숫자 하나였어요. 16장부터는 출력이 벡터예요. 평면의 각 점 (x, y)마다 화살표를 하나씩 꽂아 두는 거죠. 이걸 벡터장(vector field)이라고 해요. 바람 지도에서 지점마다 바람의 방향과 세기를 화살표로 그린 그 그림이 바로 벡터장이에요.
- 벡터장 \mathbf{F}(x, y) = \langle P(x, y),\ Q(x, y) \rangle — 점마다 벡터 하나
- 예: 유체 흐름, 중력장, 전기장, 바람
- 그래디언트장(보존장) — 어떤 함수 f의 그래디언트로 만들어진 벡터장
- 3D는 \mathbf{F}(x, y, z) = \langle P, Q, R \rangle
먼저 알아야 할 것
개념 설명
벡터장이란
벡터장은 평면(또는 공간)의 각 점에 벡터를 하나씩 대응시키는 규칙이에요. 평면이라면 점 (x, y)마다 벡터 \mathbf{F}(x, y) = \langle P(x, y),\ Q(x, y) \rangle를 주죠. 여기서 P와 Q는 각각 보통의 다변수함수예요 — P는 화살표의 가로 성분, Q는 세로 성분을 정해요.
그림으로는 이렇게 그려요. 점 (x, y)를 하나 고르고, 거기서 시작하는 화살표 \mathbf{F}(x, y)를 그 점에 꽂아요. 이걸 격자의 여러 점에서 반복하면 화살표들의 밭이 생기죠 — 그래서 "장(field, 밭)"이에요.
예를 들어 \mathbf{F}(x, y) = \langle -y,\ x \rangle를 볼게요. 점 (1, 0)에서는 \langle 0, 1 \rangle(위쪽), 점 (0, 1)에서는 \langle -1, 0 \rangle(왼쪽)이에요. 죽 그려 보면 화살표들이 원점을 중심으로 반시계 방향으로 도는 소용돌이가 돼요. 회전하는 물이나 태풍의 바람을 떠올리면 딱이에요.
공간에서는 성분이 하나 더 늘어요. \mathbf{F}(x, y, z) = \langle P, Q, R \rangle처럼요. 개념은 똑같아요 — 3차원 공간의 각 점에 3차원 화살표를 꽂는 거예요.
보존장(그래디언트장)
특별히 유용한 벡터장이 하나 있어요. 어떤 다변수함수 f의 그래디언트로 만든 벡터장이에요. 즉
이런 \mathbf{F}를 보존장(conservative vector field)이라 하고, 재료가 된 f를 퍼텐셜 함수(potential function)라고 불러요.
기억나죠 — 14.6에서 \nabla f는 "f가 가장 빠르게 커지는 방향"을 가리키는 화살표였어요. 그러니 보존장의 화살표들은 전부 언덕(f)의 오르막을 향해요. 등고선과 수직으로, 가장 가파른 쪽으로요. 중력·전기력처럼 자연의 많은 힘이 이런 보존장이라서, 뒤(16.3)에서 이 성질이 계산을 아주 편하게 해 줘요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
f(x, y) = x^2 + y^2의 그래디언트장을 만들어 볼게요.
- 편미분을 구해요: f_x = 2x, f_y = 2y.
- 모으면 그래디언트장이에요: \nabla f = \langle 2x,\ 2y \rangle. 이게 벡터장 \mathbf{F}예요.
- 점 몇 개에 화살표를 꽂아 봐요.
- (1, 0) → \langle 2, 0 \rangle (오른쪽, 크기 2)
- (0, 1) → \langle 0, 2 \rangle (위쪽, 크기 2)
- (1, 1) → \langle 2, 2 \rangle (대각선 바깥, 더 큰 크기)
- 읽어 봐요: 모든 화살표가 원점에서 바깥쪽으로, 게다가 멀수록 길게 뻗어요. 그릇 모양 함수 f = x^2 + y^2의 오르막을 정확히 가리키는 거죠. 원점에서 멀수록 가파르니 화살표도 길고요.
퍼텐셜 함수 f 하나만 알면 벡터장 전체를 편미분으로 뽑아낼 수 있다는 게 포인트예요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 벡터장 \mathbf{F}(x, y) = \langle P, Q \rangle는 점마다 벡터(화살표)를 하나씩 주는 규칙이에요.
- 유체·중력·전기·바람처럼 "각 지점의 힘/흐름"을 통째로 그린 지도예요. 3D는 \langle P, Q, R \rangle.
- 보존장 \mathbf{F} = \nabla f는 퍼텐셜 함수 f의 그래디언트로 만든 특별한 벡터장이고, 화살표가 f의 오르막을 가리켜요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 16.2 선적분이 "이 화살표 밭을 따라 이동할 때의 합"을 재고, 16.3이 보존장이면 그 계산이 얼마나 간단해지는지 보여 줘요.