한눈에 보기
지금까지 적분은 수직선 위 구간 [a, b]에서 했어요. 이번엔 적분 구간이 곡선이에요. 평면이나 공간에 놓인 곡선 C를 따라가며 무언가를 더해 나가는 게 선적분(line integral)이에요. 두 종류가 있어요.
- 스칼라 선적분 \int_C f\,ds — 곡선 위에 밀도 f가 깔려 있을 때, 그 곡선의 총량(예: 질량)을 구해요.
- 벡터장 선적분 \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} — 힘 \mathbf{F}가 곡선을 따라 물체를 밀 때 한 일(work)을 구해요.
먼저 알아야 할 것
개념 설명
스칼라 선적분
곡선 C를 아주 잘게 쪼개서 조각 길이를 ds라고 해요. 각 조각 위에서 밀도 f의 값에 그 길이를 곱하고(f\,ds), 곡선 전체에 걸쳐 다 더한 게 \int_C f\,ds예요. 곡선을 휘어진 철사라고 보면, f가 그 지점의 선밀도(단위 길이당 질량)일 때 이 적분이 철사의 총질량이 돼요.
계산은 매개화로 해요. \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle이면 조각 길이는 ds = \vert \mathbf{r}'(t)\vert\,dt = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt라서
가 돼요. 여기서 ds는 항상 양수라, 곡선을 어느 방향으로 훑든 결과가 같아요(방향 무관).
벡터장 선적분 = 일
이제 곡선 위에 힘의 장 \mathbf{F}가 깔려 있어요. 각 조각에서 물체가 d\mathbf{r}만큼 이동하고, 그때 힘이 한 일은 "힘 중 이동 방향 성분 × 이동거리", 곧 내적 \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}이에요. 이걸 곡선 전체에 더한 게
예요. 진행 방향과 힘이 같은 쪽이면 양수(밀어줌), 반대면 음수(막음)로 쌓여요. 스칼라 선적분과 달리 방향이 중요해요 — 곡선을 거꾸로 지나가면 d\mathbf{r}의 부호가 전부 뒤집혀서 일도 부호가 반대가 돼요.
수식 하나하나 뜯어보기
한 가지 표기를 더 알아둬요. \mathbf{F} = \langle P, Q\rangle, d\mathbf{r} = \langle dx, dy\rangle로 풀어 쓰면 \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_C P\,dx + Q\,dy라고도 써요. 같은 적분의 다른 옷일 뿐이고, 계산할 땐 dx = x'(t)\,dt, dy = y'(t)\,dt를 대입하면 돼요. 16.4 그린 정리에서 이 표기로 다시 만나요.
손으로 따라가는 예제
힘 \mathbf{F}(x, y) = \langle y, x\rangle가 있을 때, 원점 (0, 0)에서 (1, 1)까지 직선을 따라 한 일 \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}를 구해 봅시다.
- 매개화: 직선이니 \mathbf{r}(t) = \langle t, t\rangle, t는 0에서 1까지. 그러면 \mathbf{r}'(t) = \langle 1, 1\rangle이에요.
- 힘을 곡선 위에서 평가: \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \langle y, x\rangle = \langle t, t\rangle예요.
- 내적: \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = \langle t, t\rangle\cdot\langle 1, 1\rangle = t + t = 2t.
- 적분: \int_0^1 2t\,dt = \big[t^2\big]_0^1 = 1.
곡선을 따라 한 일은 1이에요. 힘이 대체로 진행 방향과 같은 쪽을 향하니 양수로 나왔죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 선적분은 곡선 C를 따라 더하는 적분이에요. 계산은 매개화 \mathbf{r}(t)로 바꿔서 해요.
- 스칼라 \int_C f\,ds = \int_a^b f\,\vert\mathbf{r}'(t)\vert\,dt — 곡선 위 총량(질량 등), 방향 무관.
- 벡터장 \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt — 힘이 한 일, 방향에 따라 부호가 바뀌어요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 16.3에서 힘이 특별한 종류(보존장)면 일이 경로와 무관하고 출발·도착점만으로 정해진다는 걸 배워요. 그러면 이 적분을 훨씬 쉽게 구할 수 있어요.