한눈에 보기
16.2에서 선적분을 배웠어요 — 곡선 C를 따라 벡터장 \mathbf{F}가 하는 일을 \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}로 계산했죠. 그런데 어떤 벡터장은 특별해요. 어떤 함수의 그래디언트로 쓸 수 있는 벡터장 \mathbf{F} = \nabla f이면, 선적분이 놀랍도록 간단해져요 — 곡선을 어떻게 지나왔든 상관없이 끝점 두 개만 보면 답이 나와요.
- \mathbf{F} = \nabla f이면 \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)
- 경로 무관 ⟺ 보존장 ⟺ 폐곡선 적분 0 (세 표현이 같은 말)
- 2D에서 보존장 판정: P_y = Q_x
- 퍼텐셜 함수 f 찾기
먼저 알아야 할 것
개념 설명
경로 무관
\mathbf{F} = \nabla f인 벡터장을 보존장(conservative vector field)이라고 하고, 이때 f를 퍼텐셜 함수(potential function)라고 해요. 보존장이면 선적분이 끝점만으로 정해져요.
여기서 A는 곡선 C의 시작점, B는 끝점이에요. 곡선이 직선이든 구불구불하든 크게 돌아오든, 시작과 끝이 같으면 적분값이 같아요. 이걸 경로 무관(independence of path)이라고 해요.
한 가지 자연스러운 결과가 있어요. 곡선이 제자리로 돌아오는 폐곡선(closed curve)이면 시작점과 끝점이 같으니 f(B) - f(A) = 0이에요. 즉 보존장을 폐곡선 따라 한 바퀴 돌면 적분은 항상 0이에요. 반대로 어떤 폐곡선에서라도 적분이 0이 아니면 그 벡터장은 보존장이 아니에요.
정리하면 세 표현이 완전히 같은 말이에요.
- 경로 무관하다
- 보존장이다(\mathbf{F} = \nabla f)
- 모든 폐곡선에서 적분이 0이다
보존장 판정
그럼 주어진 \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle가 보존장인지 어떻게 알까요? 2D에서는 간단한 검사가 있어요. \mathbf{F} = \nabla f이면 P = f_x, Q = f_y인데, 편미분 순서를 바꿔도 결과가 같다는 성질(f_{xy} = f_{yx})에서 이런 조건이 나와요.
즉 P_y = Q_x이면(그리고 정의역이 구멍 없이 이어진 영역이면) \mathbf{F}는 보존장이에요. 이 조건이 깨지면 보존장이 아니고, 경로 무관도 성립하지 않아요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
\mathbf{F}(x, y) = \langle 2xy,\ x^2 + 1 \rangle일 때, 점 A = (0, 0)에서 B = (1, 2)까지 어떤 곡선 C를 따라가든 \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}을 구해 봅시다.
1단계 — 보존장인지 판정. P = 2xy, Q = x^2 + 1이에요.
P_y = Q_x이니 보존장이에요. 그럼 경로를 몰라도 끝점만으로 계산할 수 있어요.
2단계 — 퍼텐셜 함수 f 찾기. f_x = 2xy를 x로 적분하면 f = x^2 y + g(y)예요(g는 y만의 함수). 이걸 y로 미분하면 f_y = x^2 + g'(y)인데, 이게 Q = x^2 + 1과 같아야 하니 g'(y) = 1, 즉 g(y) = y예요. 따라서
3단계 — 끝점 빼기. f(B) - f(A) = f(1, 2) - f(0, 0)이에요. f(1, 2) = 1\cdot 2 + 2 = 4, f(0, 0) = 0이니
곡선 C를 구체적으로 매개변수화할 필요조차 없었어요 — 판정하고, 퍼텐셜 찾고, 끝점만 빼면 끝이에요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 보존장 \mathbf{F} = \nabla f이면 \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A) — 경로 무관, 끝점만 봐요.
- 경로 무관 ⟺ 보존장 ⟺ 모든 폐곡선 적분 0, 셋은 같은 말이에요.
- 2D 판정: P_y = Q_x. 성립하면 퍼텐셜 f를 찾아 끝점 빼기로 계산.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 16.4 그린 정리는 폐곡선 적분을 영역 위 이중적분으로 바꿔줘요. 보존장이면 그 결과가 0이 되는데, 그린 정리가 바로 그 이유를 설명해 줘요.