16.7 면적분

한눈에 보기

16.2에서 곡선 위를 적분했다면, 16.7은 곡면 위를 적분해요. 두 종류가 있어요. 첫째는 스칼라 면적분 \iint_S f\,dS — 곡면에 밀도가 퍼져 있을 때 전체 질량을 구하듯, 곡면 위 값을 다 더하는 거예요. 둘째는 플럭스(flux) \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} — 벡터장(흐름)이 곡면을 뚫고 지나가는 양이에요. 둘 다 곡면을 잘게 쪼개 조각넓이 dS에 값을 곱해 더한다는 발상은 같아요.

• 스칼라 면적분 \iint_S f\,dS — 곡면 위 밀도 → 질량
• 플럭스 \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} — 곡면을 통과하는 순 흐름량
• 매개곡면으로 실제 계산하기, 그리고 향(orientation)

먼저 알아야 할 것

개념 설명

스칼라 면적분

곡면 S 위에 밀도 f(x, y, z)가 퍼져 있다고 해봐요. 전체 질량을 구하려면 곡면을 작은 조각으로 쪼개고, 각 조각의 넓이 \Delta S에 그 자리의 밀도 f를 곱해 다 더하면 돼요. 이 극한이 스칼라 면적분 \iint_S f\,dS예요.

실제로 계산할 땐 곡면을 매개변수 \mathbf{r}(u, v)로 나타내요. 그러면 조각넓이가 dS = \vert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \vert\,dA로 바뀌면서, 곡면 위 적분이 매개변수 평면 D 위의 이중적분으로 내려와요.

f = 1로 두면 곡면의 넓이가 나와요 — 16.6에서 본 곡면넓이 공식이 스칼라 면적분의 특수한 경우였던 거예요.

플럭스

이번엔 곡면 위에 밀도 대신 벡터장 \mathbf{F}(예: 유체의 속도)가 있어요. "이 곡면을 흐름이 얼마나 통과하는가"를 묻는 게 플럭스예요.

한 조각을 보면, 흐름 \mathbf{F} 전체가 아니라 곡면에 수직인 성분만 곡면을 뚫어요. 곡면을 스치는(접하는) 성분은 통과하지 않죠. 그래서 단위법선벡터 \mathbf{n}과 내적한 \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}이 그 조각을 통과하는 흐름의 세기예요. 여기에 조각넓이 dS를 곱해 더하면 전체 플럭스가 돼요.

매개곡면으로 쓰면 계산이 깔끔해져요. 단위법선은 법선벡터를 제 크기로 나눈 것(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}{\vert\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\vert})이고 조각넓이는 dS = \vert\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\vert\,dA이니, 둘을 곱하면 성가신 크기 \vert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \vert가 서로 지워져(약분돼) \mathbf{n}\,dS = (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,dA만 남아요.

향(orientation): 곡면에는 법선을 향하게 하는 방향이 두 가지예요(바깥/안, 위/아래). 어느 쪽을 \mathbf{n}으로 택하느냐로 플럭스의 부호가 정해져요. 닫힌 곡면(공 껍질처럼 안팎이 갈리는 면)은 보통 바깥쪽을 양의 방향으로 잡아요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

평면 조각 S를 통과하는 플럭스를 구해봐요. 벡터장은 \mathbf{F} = \langle 0, 0, z \rangle(위로 흐름), 곡면은 정사각형 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1 위의 평면 z = x + y이고, 향은 위쪽(법선의 z성분이 양수)으로 잡을게요.

1. 매개화: \mathbf{r}(x, y) = \langle x, y, x + y \rangle, 정의역 D = [0,1]\times[0,1].
2. 접벡터: \mathbf{r}_x = \langle 1, 0, 1 \rangle, \mathbf{r}_y = \langle 0, 1, 1 \rangle.
3. 외적: \mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y = \langle -1, -1, 1 \rangle. z성분이 양수라 위쪽 향과 맞아요.
4. 내적: 곡면 위에서 \mathbf{F} = \langle 0, 0, x + y \rangle이니 \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y) = x + y.
5. 적분: \iint_D (x + y)\,dA = \int_0^1\!\!\int_0^1 (x + y)\,dx\,dy = 1.

곡면을 위로 통과하는 순 흐름량이 1이에요. 만약 향을 아래쪽으로 뒤집었다면 답은 -1이 됐겠죠.

흔한 헷갈림

핵심 정리

• 면적분엔 두 종류: 스칼라 \iint_S f\,dS(곡면 위 값의 총합, 질량)와 플럭스 \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}(곡면을 통과하는 흐름).
• 둘 다 매개곡면 \mathbf{r}(u, v)로 이중적분으로 바꿔 계산해요. 조각넓이 dS = \vert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \vert\,dA, 방향 조각 d\mathbf{S} = (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,dA.
• 플럭스는 흐름의 수직 성분 \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}만 세고, 향을 바꾸면 부호가 바뀌어요.
• 뒤에서 다시 만나는 곳: 16.8 스토크스 정리는 플럭스를 경계 곡선의 선적분과, 16.9 발산정리는 닫힌 곡면의 플럭스를 내부 부피적분과 이어줘요. 이 면적분이 그 정리들의 한쪽 변이에요.