한눈에 보기
1장에서 "곡선의 접선"과 "물체의 속도"를 극한으로 다뤘죠. 2장은 그 둘이 사실 같은 하나의 개념이라는 걸 보여줘요. 바로 도함수(derivative)예요. 한 점에서 함수가 얼마나 빠르게 변하는지를 재는 값이고, 그래프로는 그 점에서의 접선 기울기예요.
- 도함수의 정의 f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}
- 할선의 기울기 → 극한을 취하면 접선의 기울기
- 순간속도, 그리고 "변화율"이라는 하나의 틀
먼저 알아야 할 것
개념 설명
도함수 정의
함수 f의 그래프 위에서 점 (a, f(a))를 하나 고정해요. 여기서 가로로 h만큼 떨어진 또 다른 점 (a+h, f(a+h))를 잡으면, 두 점을 잇는 직선(할선, secant line)의 기울기는
이에요. 가로 변화 h에 대한 세로 변화 f(a+h) - f(a)의 비율이죠. 이제 두 번째 점을 첫 번째 점에 점점 가깝게, 즉 h를 0으로 보내면 할선은 한 직선으로 수렴해요. 그게 바로 그 점에서의 접선(tangent line)이고, 그 기울기가 도함수 f'(a)예요.
같은 값을 다르게도 읽을 수 있어요. f(a+h) - f(a)는 입력이 a에서 a+h로 갈 때 출력의 변화량이고, 그걸 입력 변화 h로 나눈 건 평균변화율이에요. h \to 0의 극한을 취하면 이게 순간변화율이 돼요. 그래서 "접선 기울기 = 순간변화율 = 도함수"가 전부 같은 것이에요.
순간속도라는 특별한 경우
s = f(t)가 시간 t에서 물체의 위치라고 하면, \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}는 시각 a부터 a+h까지의 평균속도예요. 여기서 h \to 0을 취한 f'(a)가 시각 a의 순간속도죠. 속도는 도함수의 한 사례일 뿐이에요.
수식 하나하나 뜯어보기
주의할 점 하나. h를 그냥 0으로 넣으면 분모도 0, 분자도 0이라 \frac{0}{0}이 돼서 계산이 안 돼요. 그래서 "대입"이 아니라 "극한"이 필요한 거예요 — 먼저 식을 정리해 h를 약분한 뒤 0으로 보내죠.
손으로 따라가는 예제
f(x) = x^2의 도함수 f'(a)를 정의로 구해봅시다.
- 정의에 넣어요.
- 분자를 전개해요. (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2이니
- h로 나눠요(약분). 분자에 h가 공통으로 있어요.
- 이제 h \to 0을 취해요. h가 사라졌으니 안전하게 0을 넣을 수 있어요.
그래서 f(x) = x^2의 접선 기울기는 x=a에서 2a예요. 예를 들어 x=3에서는 기울기가 6이죠. 원점 x=0에서는 0이라, 바닥에서 접선이 수평이라는 것도 딱 맞아요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 도함수 f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = 접선 기울기 = 순간변화율.
- 할선(평균변화율)에서 h \to 0을 취하면 접선(순간변화율)이 돼요.
- 순간속도는 위치함수의 도함수 — "속도"는 변화율의 한 사례일 뿐이에요.
- 계산의 핵심은 약분 후 극한(\frac{0}{0} 피하기).
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 2.2에서 이 f'(a)의 a를 변수로 풀어 도함수 함수 f'(x)를 만들고, 2.3에서는 매번 극한을 안 써도 되는 미분 공식(거듭제곱·곱·몫 법칙)으로 이어져요.