한눈에 보기
2.1~2.2에서 도함수를 극한의 정의로 구했어요. 그런데 매번 극한을 계산하는 건 너무 번거롭죠. 이 절은 정의를 거치지 않고 곧바로 미분하는 도구상자예요. 거듭제곱 규칙 하나만 있어도 다항식은 순식간에 미분되고, 곱·몫 규칙까지 갖추면 웬만한 함수는 다 다룰 수 있어요.
- 거듭제곱 규칙: \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}
- 상수배·합·차 규칙: 미분은 항마다 따로, 상수는 그대로 통과
- 곱의 규칙과 몫의 규칙: 두 함수가 곱해지거나 나뉠 때
- 지수함수 e^x의 도함수는 자기 자신
먼저 알아야 할 것
개념 설명
거듭제곱 규칙과 합·차 규칙
가장 많이 쓰는 규칙이에요. x의 거듭제곱은 지수를 앞으로 내리고, 지수를 1 줄여요.
예를 들어 \frac{d}{dx}x^5 = 5x^4이고, \frac{d}{dx}x = 1이에요(x = x^1이니까). 상수 c는 아무리 변해도 그대로라 \frac{d}{dx}c = 0이고요.
지수 n이 음수든 분수든 똑같이 통해요. \frac{1}{x} = x^{-1}이니 \frac{d}{dx}\frac{1}{x} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}이고, \sqrt{x} = x^{1/2}이니 \frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}이에요.
여기에 두 가지 성질이 더해져요. 상수배는 그대로 통과하고(\frac{d}{dx}[cf] = cf'), 합과 차는 항마다 따로 미분해요(\frac{d}{dx}[f \pm g] = f' \pm g'). 그래서 다항식은 각 항을 거듭제곱 규칙으로 처리하면 끝이에요. 예컨대 \frac{d}{dx}(3x^4 - 2x + 7) = 12x^3 - 2죠.
곱의 규칙과 몫의 규칙
그런데 곱과 나눗셈은 항마다 따로 미분하면 안 돼요. f(x)g(x)를 미분할 때 f'(x)g'(x)라고 하면 틀려요. 올바른 공식은 이거예요.
곱의 규칙: 한 함수는 미분하고 다른 하나는 그대로 둔 걸, 역할을 바꿔가며 두 번 더해요.
몫의 규칙: 분자를 미분한 쪽에서 분모를 미분한 쪽을 빼고, 분모의 제곱으로 나눠요.
지수함수 e^x
지수함수 e^x는 아주 특별해요. 미분해도 자기 자신이에요.
기울기가 곧 함숫값이라는 뜻이라, e^x는 값이 커질수록 더 가파르게 자라요. 자연상수 e \approx 2.718이 밑으로 쓰이는 이유가 바로 이 깔끔한 성질 때문이에요. 참고로 책에서는 e^x의 미분을 6.2에서 정식으로 다뤄요 — 딥러닝에서 워낙 자주 쓰이는 함수라 여기서 미리 만나두는 거예요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
곱의 규칙 — y = x^2 e^x를 미분해 봅시다.
- 두 조각으로 나눠요: f = x^2, g = e^x.
- 각각 미분: f' = 2x, g' = e^x.
- 공식에 넣기: y' = f'g + fg' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x.
- 정리: y' = (2x + x^2)e^x. e^x로 묶으면 깔끔해요.
몫의 규칙 — y = \dfrac{x}{x^2 + 1}를 미분해 봅시다.
- 나눠요: f = x, g = x^2 + 1.
- 각각 미분: f' = 1, g' = 2x.
- 공식에 넣기: y' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2} = \dfrac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}.
- 분자 정리: x^2 + 1 - 2x^2 = 1 - x^2. 따라서 y' = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}이에요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 거듭제곱 규칙 \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} 하나로 다항식·분수·루트를 다 미분해요.
- 상수배는 통과, 합·차는 항마다 따로 미분해요.
- 곱의 규칙 (fg)' = f'g + fg' — 두 항을 더해요.
- 몫의 규칙 \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} — 부호는 뺄셈, 순서가 중요해요.
- e^x는 미분해도 자기 자신이에요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 2.4에서 삼각함수 \sin x, \cos x의 도함수를 배우고, 2.5 연쇄법칙에서 e^{x^2}처럼 함수 안에 함수가 든 경우를 다뤄요 — 그때 이 절의 곱·몫 규칙과 조합돼요.