한눈에 보기
미분법을 배울 때 다항식 다음으로 만나는 게 삼각함수의 도함수예요. \sin x, \cos x 같은 함수는 파도처럼 오르내리는 주기함수라, 그 변화율(기울기)도 다시 삼각함수로 예쁘게 떨어져요. 이 절의 결론은 딱 세 줄이에요.
- \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x, \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x
- \dfrac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x
- 이 모든 게 기본극한 \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1 하나에서 나와요.
먼저 알아야 할 것
개념 설명
sin의 도함수는 cos
\sin x의 그래프를 떠올려 봐요. x = 0에서 곡선이 가장 가파르게 올라가고(기울기 1), 꼭대기(x = \tfrac{\pi}{2})에서는 잠깐 평평해지죠(기울기 0). 이 "기울기의 변화"를 쭉 이어 그리면 놀랍게도 \cos x 모양이 나와요. 그래서
가 성립해요. 정의(극한)로 유도하면 덧셈정리와 \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1, \lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x - 1}{x} = 0이 핵심 재료로 들어가요.
cos의 도함수는 -sin
\cos x도 똑같이 기울기를 따라가 보면 -\sin x가 나와요. 부호에 마이너스가 붙는 게 포인트예요.
\cos x는 x = 0 근처에서 내려가는 중이라(기울기가 음수) 도함수가 음수로 시작하는 거예요. 이 마이너스를 빠뜨리는 실수가 정말 많아요(뒤 헷갈림 참고).
tan는 sec²
\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}니까, 몫의 법칙으로 바로 유도돼요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
y = x^2 \sin x를 미분해 봅시다. 두 함수 x^2과 \sin x의 곱이니 곱의 법칙이에요.
- 각각 미분: (x^2)' = 2x, (\sin x)' = \cos x.
- 곱의 법칙 (fg)' = f'g + fg'에 대입:
- 정리하면 y' = 2x\sin x + x^2\cos x. 끝이에요.
한 걸음 더 — \tan x가 정말 \sec^2 x인지 몫의 법칙으로 확인. \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}에서 f = \sin x, g = \cos x로 두면
분자가 \cos^2 x + \sin^2 x = 1이므로 \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x. 확인됐어요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- (\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x, (\tan x)' = \sec^2 x — 이 세 줄이 전부예요.
- 이 모든 게 기본극한 \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1에서 나오고, 그래서 각도는 라디안으로 재요.
- \cos의 도함수 마이너스 부호를 놓치지 마세요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 2.5 연쇄법칙과 합쳐지면 \sin(3x), \cos(x^2)처럼 안쪽에 다른 식이 든 삼각함수도 미분할 수 있어요. 신호처리·파동에서 실제로 쓰는 형태가 바로 그거예요.