한눈에 보기
지금까지는 y = f(x)처럼 y를 x로 딱 풀어 쓴 함수만 미분했어요. 그런데 세상엔 그렇게 못 푸는 관계도 많아요. 예를 들어 원 x^2 + y^2 = 25는 y를 하나로 딱 정하지 못해요(위·아래 반원 두 개죠). 이럴 때 쓰는 게 음함수 미분법(implicit differentiation)이에요. y를 굳이 풀지 않고, 양변을 x로 그냥 미분하면서 y를 "x의 함수"로 취급하는 거예요.
- y를 못 풀 때도 미분할 수 있는 요령
- y를 미분하면 연쇄법칙으로 \frac{dy}{dx}가 튀어나온다는 감각
- 역삼각함수 도함수 유도에도 쓰이는 만능 도구
먼저 알아야 할 것
개념 설명
양변 미분
핵심 아이디어는 딱 하나예요. y를 x의 함수라고 생각하고 양변을 x로 미분한다.
x가 들어간 항은 평소처럼 미분해요. 그런데 y가 들어간 항은 "속 함수가 y인 합성함수"라서, 연쇄법칙 때문에 미분하면 뒤에 \frac{dy}{dx}가 딸려 나와요. 예를 들어 볼게요.
- x^3을 x로 미분하면 3x^2 (평소 그대로)
- y^3을 x로 미분하면 3y^2 \cdot \dfrac{dy}{dx} (연쇄법칙!)
y^3을 미분할 때 3y^2까지만 쓰고 \frac{dy}{dx}를 빠뜨리는 게 가장 흔한 실수예요. y는 x의 함수니까, "겉 미분 \times 속 미분"에서 속 미분 \frac{dy}{dx}를 절대 잊으면 안 돼요.
양변을 다 미분하고 나면, 식 안에 \frac{dy}{dx}가 여러 군데 흩어져 있어요. 그럼 \frac{dy}{dx}가 든 항끼리 한쪽으로 모으고, 묶어서 정리하면 \frac{dy}{dx} = (\cdots) 꼴로 답이 나와요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
원 x^2 + y^2 = 25 위 한 점에서의 기울기 \frac{dy}{dx}를 구해 볼게요.
1단계 — 양변을 x로 미분해요.
x^2은 그냥 2x예요. y^2은 y가 속 함수인 합성함수라 연쇄법칙으로 2y \cdot \frac{dy}{dx}가 되고요. 오른쪽 상수 25의 미분은 0이에요.
2단계 — \frac{dy}{dx} 항을 한쪽으로 모아요.
3단계 — \frac{dy}{dx}에 대해 풀어요. 양변을 2y로 나누면 돼요.
깔끔하죠? 답에 x와 y가 둘 다 들어 있는 게 특징이에요. 점 (3, 4)에서의 기울기를 원하면 그냥 대입해서 -\frac{3}{4}가 돼요. 참고로 이 기울기가 원점에서 그 점으로 향하는 반지름 기울기 \frac{y}{x}의 음의 역수라는 것도 보여요 — 접선이 반지름에 수직이라는 기하 사실과 딱 맞아떨어지죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- y를 못 풀 때는 풀지 말고 양변을 x로 그냥 미분해요.
- y 항을 미분하면 연쇄법칙으로 \frac{dy}{dx}가 붙어요 — 절대 빠뜨리지 마세요.
- \frac{dy}{dx} 항을 모아서 정리하면 기울기 공식이 나와요. 예: x^2 + y^2 = 25 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
- 이 방법은 역삼각함수(예: \arcsin, \arctan)의 도함수를 유도할 때도 똑같이 써요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 2.8 관련 변화율이에요. 거기선 x 대신 시간 t로 양변을 미분해서, 한 양의 변화가 다른 양의 변화에 어떻게 이어지는지를 이 음함수 미분의 논리 그대로 풀어요.