한눈에 보기
복잡한 함수라도 한 점 근처만 보면 거의 직선이에요. 곡선을 그 점에서 접선으로 바꿔치기하면, 근처의 값을 아주 쉽게 어림할 수 있죠. 이게 선형근사(linear approximation)예요. 여기에 "x가 조금 변할 때 y는 얼마나 변할까"를 다루는 미분(differential) dy를 얹으면, 작은 변화와 오차를 추정하는 도구가 완성돼요.
- 선형근사: f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) — 접선으로 근처값 어림
- 미분 dy = f'(x)\,dx — 작은 변화·오차 전파 추정
- 뉴턴법·수치계산의 뿌리
먼저 알아야 할 것
개념 설명
선형근사
x = a에서 곡선 y = f(x)에 접선을 그으면, 그 점 아주 가까이에서는 곡선과 접선이 거의 겹쳐요. 그래서 근처의 x에 대해 곡선의 값 f(x) 대신 접선의 값을 써도 큰 오차가 없죠. 접선의 방정식이 y = f(a) + f'(a)(x - a)이니까,
이 오른쪽을 선형화(linearization) L(x)라고 불러요. "복잡한 f를 직선 L로 갈아끼운다"는 뜻이에요. a는 우리가 값을 정확히 아는 편한 점(예: \sqrt{4}의 a = 4)을 골라요.
미분 dy
이번엔 관점을 조금 바꿔서, 변화량을 다뤄봐요. x가 dx만큼 조금 변할 때 y의 변화를 접선을 따라 어림한 값을 미분 dy라고 해요.
여기서 dx는 우리가 정하는 작은 변화량이고, dy는 그에 대응하는 y의 추정 변화량이에요. 실제 변화량 \Delta y = f(x + dx) - f(x)와는 미세하게 다르지만, dx가 작을수록 dy \approx \Delta y가 돼요. 그래서 측정 오차 dx가 결과에 얼마나 번지는지 추정할 때 딱이에요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
★ \sqrt{4.1}을 선형근사로 어림하기
f(x) = \sqrt{x}로 두고, 값을 정확히 아는 점 a = 4를 골라요(\sqrt{4} = 2).
- 도함수: f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}이니, f'(4) = \dfrac{1}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{4} = 0.25.
- 선형근사 공식에 대입:
- x = 4.1 넣기: x - 4 = 0.1이니
실제 값은 \sqrt{4.1} = 2.02485\ldots예요. 계산기 없이 소수 셋째 자리까지 맞춘 거예요. a = 4에서 x = 4.1이 아주 가까워서 이렇게 잘 맞은 거죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 선형근사는 곡선을 접점 근처에서 접선으로 갈아끼우는 것: f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a).
- 미분 dy = f'(x)\,dx는 작은 변화·오차를 추정해요(dx 작을수록 정확).
- 아는 점 a를 잘 고르는 게 핵심이고, 멀어지면 오차가 커져요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 3.8 뉴턴법이 이 선형근사를 반복해서 방정식의 해를 찾고, 14.4 다변수 선형근사(접평면)가 이 아이디어를 여러 입력으로 확장해요 — 그게 경사하강법의 바탕이에요.
연습문제
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2.9 선형근사와 미분 · 권장문제 풀이
해설 · 📄 교재 p.192
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문제 1. 함수 f(x) = x^3 - x^2 + 3 의 a = -2 에서의 선형화 L(x) 를 구하세요.
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선형화 공식은 다음과 같아요.
먼저 a = -2 에서의 함숫값을 구해요.
도함수는 f'(x) = 3x^2 - 2x 이므로
이 값들을 공식에 넣어요.
최종답: L(x) = 16x + 23
검산으로 L(-2) = 16(-2) + 23 = -9 = f(-2) 이 되어 접점에서 값이 일치해요.
문제 2. 함수 f(x) = \cos 2x 의 a = \pi/6 에서의 선형화 L(x) 를 구하세요.
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같은 공식 L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) 를 써요.
함숫값부터 구해요. 2 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3} 이므로
도함수는 연쇄법칙으로 f'(x) = -2\sin 2x 예요.
공식에 대입해요.
최종답: L(x) = \dfrac{1}{2} - \sqrt{3}\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)
검산으로 x = \pi/6 을 넣으면 L(\pi/6) = \tfrac{1}{2} 로 접점 값과 일치해요.
문제 6. 함수 g(x) = \sqrt[3]{1 + x} 의 a = 0 에서의 선형근사를 구하고, 이를 이용해 \sqrt[3]{0.95} 와 \sqrt[3]{1.1} 을 근삿값으로 구하세요.
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g(x) = (1 + x)^{1/3} 이에요. a = 0 에서 선형근사 g(x) \approx g(0) + g'(0)\,x 를 만들어요.
도함수는
이므로 선형근사는
가 돼요.
\sqrt[3]{0.95} 는 1 + x = 0.95, 즉 x = -0.05 인 경우예요.
\sqrt[3]{1.1} 은 x = 0.1 인 경우예요.
최종답: \sqrt[3]{0.95} \approx 0.9833, \sqrt[3]{1.1} \approx 1.0333
검산으로 계산기 값은 각각 0.98305, 1.03228 이라 근삿값이 잘 맞아요.
문제 9. a = 0 에서 주어진 선형근사 \dfrac{1}{(1 + 2x)^4} \approx 1 - 8x 가 성립하는지 확인하고, 오차가 0.1 이내가 되는 x 의 범위를 구하세요.
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f(x) = (1 + 2x)^{-4} 로 놓고 a = 0 에서 선형근사를 직접 만들어 비교해요.
연쇄법칙으로 도함수를 구해요.
따라서 선형근사는
가 되어 주어진 식과 정확히 일치해요.
이제 오차 \left\vert (1 + 2x)^{-4} - (1 - 8x) \right\vert < 0.1 을 만족하는 범위를 찾아요. 두 함수의 차이를 몇 지점에서 계산해 보면, 양의 방향에서는 x \approx 0.055 부근에서 차이가 0.1 에 이르고, 음의 방향에서는 x \approx -0.045 부근에서 0.1 에 이르러요.
| x | \left\vert f(x) - (1-8x) \right\vert |
|---|---|
| -0.05 | 0.124 |
| -0.045 | 0.098 |
| 0.05 | 0.083 |
| 0.055 | 0.099 |
| 0.056 | 0.102 |
최종답: 선형근사가 오차 0.1 이내로 정확한 범위는 대략 -0.045 < x < 0.055 예요.
음의 쪽이 더 좁은 이유는 x \to -\tfrac12 로 갈수록 원래 함수가 급격히 커지기 때문이에요.
문제 17. 함수 y = \sqrt{t - \cos t} 의 미분 dy 를 구하세요.
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y = (t - \cos t)^{1/2} 으로 보고 연쇄법칙으로 미분해요.
바깥 함수의 미분은 \dfrac{1}{2}(t - \cos t)^{-1/2} 이고, 안쪽 t - \cos t 의 미분은 1 + \sin t 예요. (-\cos t 의 도함수가 +\sin t 인 점에 주의해요.)
미분 dy 는 여기에 dt 를 곱한 형태예요.
최종답:
문제 21. y = \sqrt{3 + x^2} 에 대해 (a) 미분 dy 를 구하고, (b) x = 1, dx = -0.1 일 때 dy 를 계산하세요.
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(a) y = (3 + x^2)^{1/2} 을 연쇄법칙으로 미분해요.
따라서
(b) x = 1 을 넣으면 \sqrt{3 + 1^2} = \sqrt{4} = 2 이므로
최종답: (a) dy = \dfrac{x}{\sqrt{3 + x^2}}\,dx, (b) dy = -0.05
문제 23. y = x^2 - 4x 에 대해 x = 3, \Delta x = 0.5 일 때 \Delta y 와 dy 를 각각 구하고, 두 값을 비교하세요.
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\Delta y 는 실제 함숫값의 변화량이에요.
dy 는 접선을 따른 근사 변화량이에요. f'(x) = 2x - 4 이므로
최종답: \Delta y = 1.25, dy = 1
그림으로는 x = 3 인 곡선 위 점에서 밑변 dx = 0.5 를 잡을 때, 곡선이 실제로 올라간 높이가 \Delta y = 1.25, 접선이 올라간 높이가 dy = 1 에 해당해요. 곡선이 아래로 볼록해서 곡선의 상승분이 접선의 상승분보다 조금 커요.
문제 29. f(x) = \sqrt{5 - x} 에 대해 x 가 1 에서 1.05 로 변할 때 \Delta y 와 dy 를 비교하세요. x 가 1 에서 1.01 로 변하면 어떤가요? \Delta x 가 작아질수록 근사 \Delta y \approx dy 가 더 좋아지나요?
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f(x) = (5 - x)^{1/2} 의 도함수는
이고, x = 1 에서 \sqrt{5 - 1} = 2 이므로 f'(1) = -\dfrac{1}{4} = -0.25 예요. 또 f(1) = \sqrt{4} = 2 예요.
\Delta x = 0.05 인 경우 (1 \to 1.05):
차이는 약 0.00004 로 아주 작아요.
\Delta x = 0.01 인 경우 (1 \to 1.01):
차이는 약 0.0000016 으로 훨씬 더 작아요.
최종답: \Delta x = 0.05 일 때 \Delta y \approx -0.01254, dy = -0.0125; \Delta x = 0.01 일 때 \Delta y \approx -0.00250, dy = -0.0025 예요. \Delta x 가 작아질수록 \Delta y 와 dy 의 차이가 급격히 줄어들어 근사가 더 좋아져요.
문제 35. 선형근사(미분)를 이용해 \tan 2^\circ 의 근삿값을 구하세요.
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삼각함수의 미적분은 각을 라디안으로 다뤄야 해요. 2^\circ 를 라디안으로 바꾸면
이에요. f(x) = \tan x 를 a = 0 에서 선형근사해요.
따라서
이고, x = \dfrac{\pi}{90} 을 넣어요.
최종답: \tan 2^\circ \approx 0.0349
검산으로 계산기 값 \tan 2^\circ \approx 0.034921 과 거의 같아요.
문제 38. 선형근사 또는 미분의 관점에서 \sqrt{4.02} \approx 2.005 가 왜 타당한지 설명하세요.
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f(x) = \sqrt{x} 를 a = 4 에서 선형근사해요. 4 는 제곱근을 쉽게 계산할 수 있고 4.02 와 가까운 값이기 때문이에요.
이므로 선형화는
가 돼요. x = 4.02 를 넣으면
최종답: x = 4 근처에서 \sqrt{x} 는 기울기 \tfrac14 인 접선으로 잘 근사돼요. 4 에서 0.02 만큼 커지면 함숫값은 대략 \tfrac14 \times 0.02 = 0.005 만큼 커지므로 \sqrt{4.02} \approx 2.005 가 타당해요.
문제 40(a). 원판의 반지름이 24 cm 로 측정되었고 측정 오차가 최대 0.2 cm 예요. 미분을 이용해 이 값으로 계산한 넓이의 최대 오차를 추정하세요.
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원판의 넓이는 반지름 r 에 대해
이에요. 반지름 오차 dr 에 따른 넓이 오차 \Delta A 는 미분 dA 로 근사해요.
r = 24, dr = 0.2 를 넣어요.
최종답: 넓이의 최대 오차는 약 9.6\pi \approx 30.16 \ \text{cm}^2 예요.
문제 42. 지름이 50 m 인 반구형 돔에 두께 0.05 cm 의 페인트를 한 겹 칠하는 데 필요한 페인트의 양을 미분을 이용해 추정하세요.
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필요한 페인트의 부피는 반구 겉면에 얇게 입혀진 껍질의 부피예요. 이것은 반지름이 아주 조금 늘어날 때 반구 부피가 증가하는 양 dV 로 근사할 수 있어요.
먼저 단위를 미터로 통일해요. 지름 50 m 이므로 반지름 r = 25 m 이고, 페인트 두께는 0.05 cm = 0.0005 m 이므로 dr = 0.0005 m 예요.
반구의 부피는
이고, 미분하면
이에요. 값을 넣어요.
최종답: 필요한 페인트는 약 0.625\pi \approx 1.96 \ \text{m}^3 예요.
문제 43(a). 높이 h, 안쪽 반지름 r, 두께 \Delta r 인 얇은 원통형 껍질의 부피에 대한 근사 공식을 미분을 이용해 구하세요.
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높이가 h 로 고정된 원기둥의 부피를 반지름 r 의 함수로 보면
이에요. 반지름이 r 에서 r + \Delta r 로 조금 커질 때 늘어난 부분이 바로 얇은 껍질이에요. 이 부피 변화 \Delta V 를 미분 dV 로 근사해요.
dr = \Delta r 로 두면
최종답: 얇은 원통형 껍질의 부피는 대략 2\pi r h\,\Delta r 이에요. 이것은 껍질을 펼쳤을 때 가로 2\pi r(안쪽 둘레), 세로 h(높이), 두께 \Delta r 인 얇은 판의 부피로 해석할 수 있어요.
문제 49. 함수 f 에 대해 아는 정보는 f(1) = 5 라는 것과 도함수 f' 의 그래프뿐이에요 (그래프에서 f'(1) = 2 로 읽히고, f' 은 감소하는 곡선이에요). (a) 선형근사로 f(0.9) 와 f(1.1) 을 추정하세요. (b) (a)의 추정값이 실제보다 큰가요 작은가요? 이유를 설명하세요.
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(a) a = 1 을 기준으로 선형근사를 만들어요.
그래프에서 f'(1) = 2 로 읽히고 f(1) = 5 이므로
이에요. x = 0.9 와 x = 1.1 을 넣어요.
최종답 (a): f(0.9) \approx 4.8, f(1.1) \approx 5.2
(b) f' 이 x = 1 근처에서 감소하는 그래프이므로 f'' < 0, 즉 f 는 위로 볼록(아래로 오목)해요. 위로 볼록한 곡선에서는 접선이 곡선보다 위에 놓이므로, 접선을 이용한 선형근사값은 실제 함숫값보다 커요.
최종답 (b): 두 추정값 모두 실제보다 큰 값이에요. f 가 위로 볼록해서 접선(선형근사)이 곡선 위쪽에 있기 때문이에요.