3.3 도함수로 그래프의 모양 파악하기

한눈에 보기

함수의 그래프가 어떻게 생겼는지, 도함수만 있으면 눈으로 보지 않고도 읽어낼 수 있어요. 열쇠는 두 개예요. 1계도함수 f'는 그래프가 올라가는지 내려가는지(증가·감소)를 알려주고, 2계도함수 f''는 그래프가 위로 휘었는지 아래로 휘었는지(볼록의 방향)를 알려줘요.

• f' > 0이면 증가, f' < 0이면 감소 — 그리고 부호가 바뀌는 곳에서 극대·극소
• f'' > 0이면 아래로 볼록(concave up, 위로 오목), f'' < 0이면 위로 볼록 — 부호가 바뀌는 곳이 변곡점
• 극값을 빠르게 판정하는 2계 판정법

먼저 알아야 할 것

개념 설명

1계도함수 — 증가·감소와 극값

f'은 각 점에서 접선의 기울기예요. 기울기가 양수면 그래프가 오른쪽 위로 올라가고, 음수면 내려가요. 정리하면 이래요.

• 어떤 구간에서 f' > 0이면 그 구간에서 f는 증가해요.
• 어떤 구간에서 f' < 0이면 그 구간에서 f는 감소해요.

이제 임계점 c(보통 f'(c) = 0인 곳) 주변을 보면 극값을 판정할 수 있어요. 1계 판정법(First Derivative Test)이에요.

• f'이 c를 지나며 + \to -로 바뀌면, f는 올라가다 내려가니 c에서 극대.
• f'이 c를 지나며 - \to +로 바뀌면, f는 내려가다 올라가니 c에서 극소.
• 부호가 안 바뀌면(둘 다 + 또는 둘 다 −) 극값이 아니에요.

봉우리에서 잠깐 기울기가 0이 되었다가 방향을 트는 장면을 떠올리면 돼요.

2계도함수 — 볼록과 변곡점

f''은 f'의 변화율이에요. 기울기가 점점 커지는지 작아지는지를 재죠. 이게 그래프의 휨(볼록성, concavity)을 결정해요.

• f'' > 0이면 기울기가 점점 커지는 중 → 그래프가 아래로 볼록(그릇 모양 \smile).
• f'' < 0이면 기울기가 점점 작아지는 중 → 그래프가 위로 볼록(돔 모양 \frown).

볼록의 방향이 바뀌는 지점, 즉 \smile에서 \frown으로(또는 반대로) 넘어가는 점을 변곡점(inflection point)이라고 해요. 여기서 f''의 부호가 바뀌죠.

2계 판정법 — 극값을 더 빠르게

임계점 c에서 f'(c) = 0일 때, 굳이 좌우 부호를 따지지 않고 f'' 하나로 판정할 수 있어요. 2계 판정법(Second Derivative Test)이에요.

• f'(c) = 0이고 f''(c) > 0이면, 그 점은 그릇 바닥 → 극소.
• f'(c) = 0이고 f''(c) < 0이면, 그 점은 봉우리 꼭대기 → 극대.

기울기가 0인데 위로 볼록이면 바닥, 아래로 볼록이면 꼭대기라는 그림이에요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

f(x) = x^3 - 3x의 증감과 볼록을 분석해 봅시다.

1. 1계도함수: f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1). 임계점은 x = -1, 1이에요.
2. 증감 부호: x < -1이면 f' > 0(증가), -1 < x < 1이면 f' < 0(감소), x > 1이면 f' > 0(증가).
3. 극값: x = -1에서 +\!\to\!- → 극대(f(-1) = 2). x = 1에서 -\!\to\!+ → 극소(f(1) = -2).
4. 2계도함수: f''(x) = 6x. x < 0이면 f'' < 0(위로 볼록 \frown), x > 0이면 f'' > 0(아래로 볼록 \smile).
5. 변곡점: x = 0에서 f''의 부호가 바뀌니 (0, 0)이 변곡점이에요.

정리하면, 왼쪽에서 올라와 x=-1에서 봉우리를 찍고 내려가 x=1에서 골짜기를 만든 뒤 다시 올라가며, 그 중간 x=0에서 휨 방향이 돔에서 그릇으로 바뀌는 곡선이에요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

• f' > 0이면 증가, f' < 0이면 감소. 1계 판정법: 임계점에서 f'이 +\!\to\!-면 극대, -\!\to\!+면 극소.
• f'' > 0이면 아래로 볼록(\smile), f'' < 0이면 위로 볼록(\frown). 부호가 바뀌는 곳이 변곡점.
• 2계 판정법: f'(c)=0일 때 f''(c)>0이면 극소, f''(c)<0이면 극대, f''(c)=0이면 미결정.
• 뒤에서 다시 만나는 곳: 3.5 곡선 그리기에서 이 증감·볼록·변곡점 정보를 모두 합쳐 함수의 그래프를 손으로 완성하게 돼요.