3.5 곡선 그리기 종합

한눈에 보기

앞 절들에서 도구를 하나씩 익혔어요 — 미분으로 증감, 이계도함수로 볼록/오목, 극한으로 점근선. 3.5는 이걸 한 자리에 모아 그래프를 그리는 절이에요. 함수 하나를 주면, 정해진 체크리스트를 순서대로 훑어 곡선의 전체 모양을 손으로 완성하는 거죠.

• 그래프를 그리기 전 조사할 항목들(정의역·절편·대칭·점근선·증감·극값·볼록/변곡점)
• 각 항목이 곡선의 어느 부분을 알려주는지
• 조사 결과를 하나로 합쳐 개형(대략적인 모양)을 그리기

먼저 알아야 할 것

개념 설명

곡선 그리기 체크리스트

그래프를 그릴 땐 다음 항목을 순서대로 조사해요. 각 항목이 곡선의 다른 정보를 채워 줘요.

1. 정의역(domain): f(x)가 정의되는 x의 범위. 분모가 0이거나 루트 안이 음수인 곳을 빼요.
2. 절편(intercepts): x = 0을 넣어 y절편, f(x) = 0을 풀어 x절편. 축과 만나는 점이에요.
3. 대칭(symmetry): f(-x) = f(x)면 y축 대칭(우함수), f(-x) = -f(x)면 원점 대칭(기함수). 대칭이면 절반만 그려도 돼요. 주기함수면 한 주기만 그려요.
4. 점근선(asymptotes): 수평(x \to \pm\infty의 극한), 수직(정의역에서 빠진 점 근처의 극한)을 찾아요.
5. 증감구간(f'): f'(x)의 부호로 증가·감소 구간을 나눠요.
6. 극값(local max/min): f'(x) = 0이거나 정의되지 않는 곳(임계점)에서 부호가 바뀌면 극값이에요.
7. 볼록성과 변곡점(f''): f''(x)의 부호로 위로/아래로 볼록을 나누고, 바뀌는 곳이 변곡점이에요.

이렇게 모은 정보를 좌표평면에 하나씩 표시한 뒤, 매끄럽게 이으면 곡선이 완성돼요. 순서가 중요해요 — 정의역과 점근선이 "그릴 무대"를 정하고, 증감·볼록이 "곡선의 결"을 채워요.

왜 순서대로일까

앞 항목이 뒤 항목의 배경이 되기 때문이에요. 정의역을 먼저 알아야 어디를 조사할지 알고, 점근선을 알아야 곡선이 무한대에서 어디로 향할지 알죠. 그다음 증감으로 오르내림의 뼈대를 잡고, 볼록성으로 그 뼈대에 살을 붙여요. 한 항목이라도 빠뜨리면 엉뚱한 모양이 되기 쉬워요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}의 개형을 체크리스트로 그려 봅시다.

1. 정의역: 분모 x^2 - 1 = 0인 x = \pm 1을 빼요. 즉 x \neq \pm 1.
2. 절편: x = 0이면 f(0) = 0이니 원점을 지나요. y절편·x절편 모두 (0, 0)이에요.
3. 대칭: f(-x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1} = f(x)이니 y축 대칭이에요. 오른쪽 절반만 그리고 뒤집으면 돼요.
4. 점근선: x \to \pm\infty일 때 f(x) \to 1이니 수평점근선 y = 1. x \to \pm 1에서 분모가 0으로 가니 수직점근선 x = 1, x = -1이에요.
5. 증감: f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2 - 1)^2}이에요. 분모는 항상 양수라, 부호는 -2x가 정해요. x < 0이면 f' > 0(증가), x > 0이면 f' < 0(감소).
6. 극값: x = 0에서 f'이 양에서 음으로 바뀌니 극댓값 f(0) = 0이에요.
7. 볼록성: f''(x) = \dfrac{6x^2 + 2}{(x^2 - 1)^3}이에요. 분자는 항상 양수라 부호는 (x^2 - 1)^3이 정해요 — 그래서 바깥쪽(\vert x \vert > 1)에서는 f'' > 0(아래로 볼록), 안쪽(\vert x \vert < 1)에서는 f'' < 0(위로 볼록)이에요. 정의역에서 x = \pm 1이 빠져 있어 변곡점은 없어요.

이 정보를 합치면: 가운데 (-1, 1) 구간에서는 원점을 꼭짓점으로 하는 위로 볼록한 봉우리(y=0이 극대)를 그리다가, 양쪽 수직점근선 x = \pm 1에 가까워지면 -\infty로 떨어져요. 양옆 바깥 구간에서는 수직점근선 근처에서 +\infty로 솟구쳤다가 수평점근선 y=1로 완만히 다가가고요. 안쪽은 -\infty로 떨어지고 바깥쪽은 +\infty에서 내려온다는 대비가 이 그래프의 핵심이에요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

• 곡선 그리기는 정의역 → 절편 → 대칭 → 점근선 → f'(증감·극값) → f''(볼록·변곡점) 체크리스트를 순서대로 채우는 일이에요.
• 앞 항목이 뒤 항목의 무대를 깔아 줘요 — 정의역·점근선이 범위를, f'·f''가 곡선의 결을 정해요.
• 한 단계라도 빠뜨리면 개형이 틀어지니, 특히 점근선과 극값의 부호 변화를 꼼꼼히 확인하세요.
• 뒤에서 다시 만나는 곳: 이렇게 함수의 최대·최소와 모양을 읽는 감각이 3.7 최적화(optimization)로 이어져요 — 실제 문제에서 "가장 크거나 작은 값"을 찾는 게 바로 그 응용이에요.