3.9 역도함수

한눈에 보기

지금까지는 함수 f가 주어지면 그 도함수 f'를 구했어요. 이번엔 방향을 거꾸로 돌려요 — "도함수가 f인 함수를 찾아라." 이렇게 미분하면 f가 되는 함수 F를 f의 역도함수(antiderivative)라고 해요. 즉 F' = f죠. 미분이 "속도를 구하기"였다면, 역도함수는 "속도로부터 위치를 되찾기"예요.

• 역도함수의 정의: F' = f
• 상수 C가 자유롭게 붙는다는 사실 — F(x) + C
• 기본 역도함수 공식(거듭제곱·삼각·지수)
• 초기조건으로 C를 딱 하나 결정하기

먼저 알아야 할 것

개념 설명

역도함수와 +C

함수 f가 주어졌을 때, F' = f를 만족하는 F를 f의 역도함수라고 해요. 예를 들어 f(x) = 2x라면, F(x) = x^2이 역도함수예요. 미분해 보면 \frac{d}{dx}x^2 = 2x로 딱 맞죠.

그런데 역도함수는 하나가 아니에요. x^2 + 1도, x^2 - 7도 미분하면 똑같이 2x가 돼요. 상수는 미분하면 사라지니까요. 그래서 f의 역도함수는 항상 한 덩어리의 무리로 나와요:

여기서 C는 아무 상수나 될 수 있어요. 이 C를 적분상수라고 불러요. 그래프로 보면, 같은 모양의 곡선이 위아래로 평행이동한 무한한 가족이에요 — 어느 높이에 있든 기울기(도함수)는 똑같으니까요.

이 "f의 모든 역도함수"를 기호로 이렇게 써요:

이걸 부정적분(indefinite integral)이라고 해요. \int 기호와 dx는 4장에서 본격적으로 다루지만, 지금은 "f의 역도함수 전부"를 뜻하는 표기로 받아들이면 돼요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

문제: f(x) = 3x^2이고, 그래프가 점 (1, 5)를 지날 때 F를 구하세요.

1. 일반 역도함수부터. 거듭제곱 공식으로 x^2의 역도함수는 \frac{x^3}{3}이에요. 앞의 상수 3은 그대로 곱해지니까

검산: \frac{d}{dx}(x^3 + C) = 3x^2로 원래 f와 같아요.

2. 초기조건으로 C 결정. 그래프가 (1, 5)를 지난다는 건 F(1) = 5라는 뜻이에요. 대입하면

3. 답. F(x) = x^3 + 4. 조건 하나가 무한한 가족 중에서 딱 하나의 곡선을 골라준 거예요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

• 역도함수는 F' = f인 함수 F. 미분을 거꾸로 돌린 거예요.
• 역도함수는 항상 F(x) + C 꼴의 무리로 나와요 — 상수는 미분하면 사라지니까요.
• 거듭제곱 공식: 지수 1 올리고 올린 지수로 나눠요, \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (단 n \neq -1).
• 초기조건(한 점을 지난다 등) 하나면 C가 딱 정해져요.
• 뒤에서 다시 만나는 곳: 4장에서 적분을 본격적으로 배우고, 4.3 미적분 기본정리에서 "역도함수 = 넓이 계산"이라는 놀라운 연결이 드러나요. 오늘 배운 역도함수가 그 다리예요.