한눈에 보기
4.1에서 리만합으로 넓이를 근사했다면, 이제 그 근사를 무한히 촘촘하게 만들어 정확한 값을 얻어요. 구간 [a, b]를 잘게 쪼갠 뒤 직사각형을 무한히 늘려 극한을 취한 것, 이게 바로 정적분(definite integral) \int_a^b f(x)\,dx예요. 결과는 넓이 하나가 아니라 부호 있는 넓이 — x축 위는 더하고, 아래는 빼는 거죠.
- 정적분 = 리만합의 극한(무한히 촘촘한 근사의 도착점)
- 부호 있는 넓이(x축 아래 부분은 음수)
- 적분의 성질(선형성, 구간 분할, 순서)과 적분 가능 조건
먼저 알아야 할 것
개념 설명
정적분 정의
구간 [a, b]를 n등분하면 각 조각의 폭은 \Delta x = \dfrac{b - a}{n}이에요. 각 조각에서 대표점 x_i^*를 하나 골라 함수값 f(x_i^*)를 높이로, \Delta x를 폭으로 하는 직사각형을 세우고 전부 더하면 리만합이 돼요. 여기서 조각을 무한히 늘리면(n \to \infty) 이 합이 하나의 값으로 수렴하는데, 그 값을 정적분이라 하고 이렇게 써요.
늘어진 S 모양 기호 \int는 "합(sum)"의 S에서 왔어요 — 무한히 많은 얇은 조각을 이어 붙인다는 뜻이죠. a는 아래끝, b는 위끝, f(x)는 피적분함수, dx는 "x에 대해 적분한다"는 표시예요.
부호 있는 넓이
정적분은 단순한 넓이가 아니라 부호 있는 넓이(signed area)예요. f(x) > 0인 구간에서는 직사각형 높이가 양수라 넓이를 더하고, f(x) < 0인 구간에서는 높이가 음수라 넓이를 빼요. 그래서 \int_a^b f(x)\,dx는 "x축 위쪽 넓이 - 아래쪽 넓이"가 돼요. 예를 들어 한 주기의 \sin x를 0부터 2\pi까지 적분하면, x축 위에 있는 앞부분(0부터 \pi)과 아래에 있는 뒷부분(\pi부터 2\pi)이 정확히 상쇄돼 0이 나와요.
성질
정적분에는 계산을 편하게 해 주는 규칙들이 있어요.
- 선형성: \int_a^b [f + g] = \int_a^b f + \int_a^b g, 그리고 상수는 밖으로 \int_a^b c\,f = c\int_a^b f. 상수 자체는 \int_a^b c\,dx = c(b - a)(직사각형 넓이)예요.
- 구간 분할: \int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f. 구간을 중간점 c에서 잘라 나눠 계산해도 돼요.
- 순서(방향): \int_a^b f = -\int_b^a f. 아래끝과 위끝을 바꾸면 부호가 뒤집혀요. 또 \int_a^a f = 0(폭이 없으니 0).
- 비교: 구간에서 f(x) \ge 0이면 \int_a^b f \ge 0. 항상 위에 있으면 적분값도 크죠.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
\int_0^3 (2x + 1)\,dx를 넓이(부호 있는 넓이)로 구해 봅시다.
- f(x) = 2x + 1은 [0, 3]에서 항상 양수라, 정적분은 그래프 아래 넓이 그대로예요.
- 그래프는 직선이고, x = 0에서 높이 1, x = 3에서 높이 7이에요. 아래 영역은 사다리꼴이죠.
- 사다리꼴 넓이 = (윗변 + 아랫변) \times 높이 \div\, 2 = (1 + 7) \times 3 \div 2 = 12.
그래서 \int_0^3 (2x + 1)\,dx = 12예요. 성질로 확인해도 같아요: 선형성으로 \int_0^3 2x\,dx + \int_0^3 1\,dx인데, 앞은 밑변 3·높이 6인 삼각형이라 9, 뒤는 폭 3·높이 1인 직사각형이라 3, 합쳐서 12죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 정적분 \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum f(x_i^*)\,\Delta x — 리만합을 무한히 촘촘하게 만든 극한이에요.
- 결과는 부호 있는 넓이: x축 위는 더하고, 아래는 빼요.
- 성질(선형성·구간 분할·순서 뒤집기)로 복잡한 적분을 쪼개 계산해요.
- 연속함수는 항상 적분 가능해요(끊김 없으면 극한이 존재).
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 4.3 미적분학의 기본정리(FTC)가 이 극한을 매번 계산하지 않고 역도함수의 차 F(b) - F(a)로 순식간에 구하는 지름길을 알려 줘요.