한눈에 보기
4.1~4.2에서 정적분 \int_a^b f(x)\,dx를 "잘게 쪼갠 넓이의 합(리만합)의 극한"으로 정의했어요. 그런데 이걸 매번 합의 극한으로 계산하면 너무 힘들죠. 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus, FTC)는 이 계산을 놀랍도록 쉽게 만들어줘요. 핵심은 하나예요 — 미분과 적분은 서로 반대 연산이라는 것.
- FTC 1부: 적분으로 만든 함수를 미분하면 원래 함수로 돌아와요
- FTC 2부: 역도함수만 알면 정적분을 뺄셈 한 번으로 계산해요
- 이 둘이 미적분학 전체의 심장이에요
먼저 알아야 할 것
개념 설명
FTC 1부
상한을 변수로 둔 적분을 하나 만들어봅시다.
이건 a부터 x까지의 넓이예요 — x가 오른쪽으로 움직이면 넓이가 점점 쌓이죠. 그래서 g(x)는 x에 대한 함수예요. FTC 1부는 이 g를 미분하면 정확히 f가 된다고 말해요.
직관은 이래요. x를 아주 조금 dx만큼 늘리면, 넓이는 오른쪽 끝에 폭 dx, 높이 f(x)인 얇은 띠만큼 늘어나요. 늘어난 넓이가 f(x)\,dx이니, 넓이의 변화율은 f(x)죠. 즉 넓이를 쌓는 함수의 변화율은 그 순간의 높이예요. 적분으로 함수를 만들면, 미분이 그걸 원래대로 되돌린다는 뜻이에요.
FTC 2부
1부가 "적분→미분이 원위치"라면, 2부는 그걸 이용한 계산 공식이에요. F가 f의 역도함수, 즉 F'(x) = f(x)라면
정적분을 리만합의 극한으로 힘들게 구할 필요 없이, 역도함수 F를 양 끝점에서 계산해 뺄셈 한 번하면 끝이에요. 왜 성립할까요? 1부에서 g(x) = \int_a^x f(t)\,dt도 f의 역도함수예요. 역도함수들은 상수 차이밖에 안 나니 F(x) = g(x) + C죠. 그러면 F(b) - F(a) = g(b) - g(a) = \int_a^b f - 0 = \int_a^b f(x)\,dx가 돼요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
\int_0^2 x^2\,dx를 FTC 2부로 계산해봅시다.
- 역도함수 찾기: f(x) = x^2이니, 미분해서 x^2이 되는 함수 F를 찾아요. \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) = x^2이니 F(x) = \frac{x^3}{3}이에요(상수 C는 어차피 빼면 사라지니 생략).
- 끝점 대입: F(2) = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3}, F(0) = \frac{0^3}{3} = 0.
- 빼기: \int_0^2 x^2\,dx = F(2) - F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}.
리만합으로 하면 \lim_{n\to\infty}\sum \left(\frac{2i}{n}\right)^2 \cdot \frac{2}{n} 같은 합의 극한을 힘겹게 계산해야 하는데, 역도함수 한 줄로 \frac{8}{3}이 딱 나왔어요. 이게 FTC의 위력이에요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- FTC의 한 줄 요약: 미분과 적분은 서로 반대 연산이에요.
- 1부 — g(x) = \int_a^x f(t)\,dt이면 g'(x) = f(x). 넓이를 쌓는 함수를 미분하면 원래 높이로 돌아와요.
- 2부 — \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)(F' = f). 역도함수의 끝점 차이로 정적분을 뺄셈 한 번에 계산해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 4.4~4.5에서 역도함수(부정적분)와 치환적분으로 실제 적분 계산 기술을 익히고, 16장(선적분·발산정리·스토크스 정리)에서 이 "미분↔적분" 관계가 다변수·벡터장으로 일반화돼요.