한눈에 보기
적분에는 얼굴이 둘이에요. 하나는 부정적분 — 미분해서 f가 되는 함수(역도함수)를 전부 모은 것으로, \int f(x)\,dx = F(x)+C처럼 함수로 답해요. 다른 하나는 정적분 \int_a^b f(x)\,dx — 넓이처럼 숫자 하나로 답하죠. 이 둘을 잇는 다리가 4.3의 미적분 기본정리(FTC)예요.
- 부정적분: 역도함수 전체 F(x)+C (함수로 답)
- 기본 적분 공식표: 미분표를 거꾸로 읽은 것
- 순변화 정리(Net Change Theorem): \int_a^b F'(x)\,dx = F(b)-F(a) — 변화율을 적분하면 총 변화량
먼저 알아야 할 것
개념 설명
부정적분 — 함수로 답하는 적분
\int f(x)\,dx는 "f의 역도함수 전체"를 뜻해요. 예를 들어 x^2을 미분하면 2x이니, \int 2x\,dx = x^2 + C예요. 여기서 +C가 붙는 이유는, 미분하면 상수는 사라지므로 x^2+3, x^2-7 모두 미분하면 2x가 되기 때문이에요. 즉 역도함수는 딱 하나가 아니라 상수 차이만큼 무한히 많고, 그걸 한꺼번에 F(x)+C로 적어요.
정적분과 헷갈리지 마세요. \int_a^b f\,dx는 위아래 끝(a, b)이 붙어 있어 숫자가 나오고, \int f\,dx는 끝이 없어 함수가 나와요. 같은 적분 기호지만 답의 종류가 달라요.
순변화 정리 — 변화율을 쌓으면 총 변화
F(x)가 어떤 양이고 F'(x)가 그 변화율이라고 해봐요. FTC를 그대로 쓰면
가 돼요. 왼쪽은 "변화율 F'를 a부터 b까지 적분한 것", 오른쪽은 "F가 처음(a)에서 끝(b)까지 얼마나 변했나", 즉 순변화예요. 이름 그대로 "변화율을 적분 = 순변화"라는 거죠.
가장 대표적인 예가 운동이에요. 위치 s(t)의 변화율은 속도 v(t)=s'(t)예요. 그러면
가 돼요. 속도를 적분하면 위치가 얼마나 바뀌었는지(변위)가 나오는 거예요. 단, 속도가 음수면 뒤로 가는 것도 그대로 빼서 더해요 — 그래서 "순"변화예요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
입자의 속도가 v(t) = t^2 - t (m/s)일 때, t=0부터 t=3까지의 변위를 구해봐요.
- 순변화 정리를 그대로 써요: 변위 = \displaystyle\int_0^3 v(t)\,dt = \int_0^3 (t^2 - t)\,dt.
- 역도함수를 찾아요(공식표): \int (t^2 - t)\,dt = \dfrac{t^3}{3} - \dfrac{t^2}{2} + C. 정적분이니 C는 신경 안 써도 돼요.
- 끝값을 넣고 빼요: \left[\dfrac{t^3}{3} - \dfrac{t^2}{2}\right]_0^3 = \left(\dfrac{27}{3} - \dfrac{9}{2}\right) - 0 = 9 - 4.5 = 4.5.
- 답: 변위는 4.5 m예요. 처음 위치보다 4.5 m 앞에 있다는 뜻이죠. (참고로 0<t<1에선 v<0이라 잠깐 뒤로 갔다가 다시 나아가요. 실제로 움직인 이동거리를 알려면 \int_0^3 \vert v(t)\vert\,dt처럼 절댓값을 씌워야 해요.)
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 부정적분 \int f\,dx = F(x)+C는 역도함수 전체를 함수로 답해요(+C 필수).
- 기본 적분 공식표는 미분표를 거꾸로 읽은 것 — 미분해서 확인하면 안 틀려요.
- 순변화 정리 \int_a^b F'\,dx = F(b)-F(a): 변화율을 적분하면 총 변화. 속도→변위가 대표 예예요.
- 정적분(숫자)과 부정적분(함수)을 끝값 유무로 구분하고, 변위와 이동거리를 헷갈리지 마세요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 4.5 치환적분에서 이 공식표만으로 안 풀리는 적분을 변수를 바꿔 표 모양으로 되돌리는 법을 배워요.