한눈에 보기
넓이를 구하는 정적분은 지금까지 "곡선과 x축 사이"를 다뤘어요. 5.1에서는 한 걸음 나아가 두 곡선 사이의 넓이를 구해요. 핵심은 딱 하나예요 — 위 함수에서 아래 함수를 뺀 것을 적분하면 그 사이 영역의 넓이가 나와요.
- 두 곡선 사이 넓이 = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx (위 함수 − 아래 함수)
- 적분구간 [a, b]는 두 곡선의 교점으로 정해요
- 위아래가 중간에 바뀌면 구간을 나눠서 계산해요
먼저 알아야 할 것
개념 설명
위−아래 적분
두 곡선 y = f(x)(위)와 y = g(x)(아래)가 있고, 구간 [a, b]에서 늘 f(x) \ge g(x)라고 해봐요. 이 사이 영역의 넓이를 구하려면, 얇은 세로 막대(폭 dx)를 하나 떠올리면 돼요. 막대의 높이는 위 곡선까지 − 아래 곡선까지, 즉 f(x) - g(x)예요. 폭이 dx이니 막대 넓이는 [f(x) - g(x)]\,dx이고, 이걸 a부터 b까지 다 더한(적분한) 게 전체 넓이예요.
왜 "위−아래"만으로 충분할까요? x축과의 넓이 두 개를 빼는 것과 같기 때문이에요. 위 곡선 아래 넓이 \int_a^b f\,dx에서 아래 곡선 아래 넓이 \int_a^b g\,dx를 빼면 딱 사이 영역만 남죠. 곡선이 x축 아래로 내려가도(음수여도) 이 방법은 그대로 통해요 — 차이 f - g만 양수면 되니까요.
교점으로 구간 정하기
문제에서 a, b를 안 주는 경우가 많아요. 그럴 땐 두 곡선이 만나는 점, 즉 교점이 넓이 영역의 자연스러운 경계예요. f(x) = g(x)를 풀어서 x값들을 찾으면, 그게 적분의 아래끝·위끝이 돼요.
위아래가 바뀌면 구간 나누기
구간 안에서 어느 쪽이 위인지가 중간에 뒤바뀔 때가 있어요. 그럼 교점을 경계로 구간을 쪼개서, 각 조각마다 그 조각에서 위인 함수−아래인 함수로 따로 적분한 뒤 더해요. 그래야 각 부분의 높이가 양수로 나와요.
y에 대해 적분하기
영역이 세로 막대보다 가로 막대로 자르는 게 편할 때가 있어요(예: 왼쪽·오른쪽 곡선이 x = f(y) 꼴로 주어질 때). 이때는 역할을 바꿔서, A = \int_c^d [x_{\text{오른}} - x_{\text{왼}}]\,dy처럼 오른쪽 − 왼쪽을 y에 대해 적분해요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
★ y = x와 y = x^2 사이의 넓이를 구해봐요.
- 교점 찾기: x = x^2 → x^2 - x = 0 → x(x - 1) = 0 → x = 0, 1. 적분구간은 [0, 1]이에요.
- 누가 위인가: x = 0.5를 넣어보면 y = x는 0.5, y = x^2은 0.25. 그러니 이 구간에선 x가 위, x^2이 아래예요.
- 세우기: A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx.
- 계산: 원시함수는 \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}이에요. 양 끝값을 넣으면
넓이는 \dfrac{1}{6}이에요. 직선과 포물선이 만드는 그 초승달 모양 조각의 넓이가 딱 1/6이라는, 자주 나오는 결과예요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 두 곡선 사이 넓이 = 위 함수 − 아래 함수를 적분한 것: A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx.
- 적분구간은 보통 교점(f = g를 풀어서)으로 정해요.
- 위아래가 바뀌면 구간을 나눠 각각 계산해 더하고, 가로로 자르는 게 편하면 y에 대해 오른쪽 − 왼쪽으로 적분해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 5.2에서는 이 "넓이"를 한 단계 올려, 영역을 축으로 돌려 만든 입체의 부피를 구해요 — 얇은 막대가 얇은 원판·원통으로 바뀔 뿐, 쌓아서 적분한다는 아이디어는 똑같아요.