조현태아주대학교 수학과
Lecture · 5

5.3 원통껍질을 이용한 부피

Volumes by Cylindrical Shells

한눈에 보기

5.2에서 회전체 부피를 얇은 원판(디스크)을 쌓아 구했어요. 그런데 회전축과 나란한 방향으로 자르는 게 더 편한 문제도 있어요. 이때는 얇은 원통껍질(cylindrical shell)을 겹겹이 쌓아 부피를 구해요 — 양파 껍질을 하나씩 벗기듯, 얇은 통을 두께 방향으로 모으는 거죠.

  • 회전체를 얇은 원통껍질로 쪼개기
  • 껍질 하나의 부피 = 둘레(2\pi x) \times 높이 \times 두께
  • 이걸 다 더하면 V = \int_a^b 2\pi x\, f(x)\, dx

먼저 알아야 할 것

개념 설명

원통껍질

곡선 y = f(x)와 x축, 그리고 x = a부터 x = b까지의 영역을 y축(세로축)을 중심으로 돌린다고 해봅시다. 원판법으로 하려면 높이 y에서 가로로 잘라 x = g(y)를 알아야 하는데, 함수를 뒤집기가 까다로워요.

대신 세로로 얇게 잘라봐요. x 근처의 폭 dx짜리 얇은 띠를 y축 둘레로 돌리면, 속이 빈 얇은 통(원통껍질) 하나가 생겨요. 이 통은 반지름이 x(축에서 띠까지의 거리), 높이가 f(x), 두께가 dx예요.

껍질 하나를 가위로 세로로 잘라 쫙 펴면, 얇은 직사각형 판이 돼요. 그 판의 크기는 이래요.

  • 가로 = 원통의 둘레 = 2\pi x
  • 세로 = 높이 = f(x)
  • 두께 = dx

그래서 껍질 하나의 부피는 (둘레) \times (높이) \times (두께) = 2\pi x\, f(x)\, dx예요. 이 얇은 껍질을 x = a부터 x = b까지 다 더하면(적분하면) 전체 부피가 나와요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

y = 2x^2 - x^3과 x축으로 둘러싸인 영역(0 \le x \le 2)을 y축 중심으로 돌린 부피를 구해봐요.

  1. 반지름 x, 높이 f(x) = 2x^2 - x^3인 껍질을 생각해요. 껍질 하나의 부피는 2\pi x\,(2x^2 - x^3)\, dx예요.
  2. 식을 정리해요:
2\pi x\,(2x^2 - x^3) = 2\pi\,(2x^3 - x^4)
  1. x = 0부터 2까지 적분해요:
V = \int_0^2 2\pi\,(2x^3 - x^4)\, dx = 2\pi\left[\frac{x^4}{2} - \frac{x^5}{5}\right]_0^2
  1. 값을 넣어요. \dfrac{2^4}{2} = 8, \dfrac{2^5}{5} = \dfrac{32}{5}이므로:
V = 2\pi\left(8 - \frac{32}{5}\right) = 2\pi \cdot \frac{8}{5} = \frac{16\pi}{5}

같은 문제를 원판법으로 풀려면 y = 2x^2 - x^3을 x에 대해 뒤집어야 하는데, 이건 손으로 거의 불가능해요. 껍질법이 왜 필요한지 바로 느껴지죠.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 회전체를 얇은 원통껍질로 쌓아 부피를 구해요: V = \int_a^b 2\pi x\, f(x)\, dx.
  • 껍질 하나 = 둘레 2\pi x \times 높이 f(x) \times 두께 dx (반지름 x는 둘레 안에 이미 들어 있어요).
  • 원판법과 짝꿍이에요 — 슬라이스가 축과 나란하면 껍질, 수직이면 원판. y축 회전에 y = f(x) 꼴이면 껍질법이 대개 편해요.
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 8장에서 곡선의 길이·회전면의 넓이 같은 응용으로 "잘게 쪼개 더하기"를 한 번 더 확장해요.

연습문제

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5.3 원통껍질을 이용한 부피 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.388

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문제 1. 그림의 영역(y = x(x-1)^2 과 x 축으로 둘러싸인 부분, 0 \le x \le 1)을 y 축을 중심으로 회전시켜 얻은 입체를 S 라 해요. 왜 워셔(washer) 방법을 쓰기 어색한지 설명하고, 대표 껍질(shell)을 그린 뒤 그 둘레와 높이를 구하세요. 껍질법으로 부피 V 를 구하세요.

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왜 워셔가 어색한가요? 워셔 방법은 y 를 기준으로 적분해야 해서 곡선을 x = (\,y\,\text{의 식}\,) 로 풀어야 해요. 그런데 y = x(x-1)^2 은 x 에 대한 3차식이라 x 에 대해 깔끔하게 풀리지 않고, 게다가 0 \le x \le 1 에서 한 y 값에 x 가 여러 개 대응하는 구간도 생겨요. 그래서 워셔는 다루기 까다로워요.

껍질법은 x 를 기준으로 적분하니 그런 문제가 없어요. x 위치에서 얇은 세로 띠를 y 축 둘레로 돌리면 원통껍질이 돼요.

  • 껍질 반지름 = x, 둘레 = 2\pi x
  • 껍질 높이 = 곡선의 높이 = x(x-1)^2

부피는 (둘레) \times (높이) 를 0 부터 1 까지 쌓은 거예요.

V = \int_0^1 2\pi x \cdot x(x-1)^2 \, dx = 2\pi \int_0^1 x^2 (x-1)^2 \, dx

피적분함수를 전개해요. (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 이므로 x^2(x-1)^2 = x^4 - 2x^3 + x^2 이에요.

V = 2\pi \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1
V = 2\pi \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = 2\pi \cdot \frac{6 - 15 + 10}{30} = 2\pi \cdot \frac{1}{30}

답: V = \dfrac{\pi}{15}

문제 4. 그림의 색칠된 영역(y = \sqrt{x}, y = 2 - x, 그리고 x 축으로 둘러싸인 부분)을 x 축을 중심으로 회전시킨 입체에 대해, (a) 원통껍질 방법으로 부피 적분을 세우고, (b) 적분을 계산하세요.

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(a) 적분 세우기. 두 곡선은 \sqrt{x} = 2 - x 에서 만나요. 양변을 제곱하면 x = (2-x)^2 = x^2 - 4x + 4, 즉 x^2 - 5x + 4 = 0 이라 x = 1 (또는 x=4, 범위 밖)에서 만나 교점은 (1,1) 이에요. 영역은 꼭짓점이 (0,0), (1,1), (2,0) 인 "천막" 모양이에요.

x 축을 중심으로 껍질을 쓰면 y 를 기준으로 적분해요. 높이 y 인 가로 띠를 잡으면 (0 \le y \le 1):

  • 껍질 반지름 = y, 둘레 = 2\pi y
  • 왼쪽 경계는 y = \sqrt{x} 에서 x = y^2, 오른쪽 경계는 y = 2 - x 에서 x = 2 - y
  • 껍질 높이(가로 길이) = (2 - y) - y^2
V = \int_0^1 2\pi y \left[ (2 - y) - y^2 \right] dy

(b) 계산. 괄호 안을 y 와 곱해 전개해요.

V = 2\pi \int_0^1 (2y - y^2 - y^3) \, dy = 2\pi \left[ y^2 - \frac{y^3}{3} - \frac{y^4}{4} \right]_0^1
V = 2\pi \left( 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \cdot \frac{12 - 4 - 3}{12} = 2\pi \cdot \frac{5}{12}

답: V = \dfrac{5\pi}{6}

검산(원판법): x 축 회전이라 원판으로 확인해보면 \pi\!\int_0^1 (\sqrt{x})^2 dx + \pi\!\int_1^2 (2-x)^2 dx = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6} 로 일치해요.

문제 11. y = 1/x, y = 0, x = 1, x = 4 로 둘러싸인 영역을 y 축을 중심으로 회전시킨 입체의 부피를, 원통껍질 방법으로 구하세요.

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y 축 회전이니 x 를 기준으로 껍질을 잡아요.

  • 껍질 반지름 = x, 둘레 = 2\pi x
  • 껍질 높이 = \dfrac{1}{x} (곡선 y=1/x 와 x 축 사이)
V = \int_1^4 2\pi x \cdot \frac{1}{x} \, dx = 2\pi \int_1^4 1 \, dx

x 가 약분돼서 상수 적분이 되는 게 이 문제의 포인트예요.

V = 2\pi \left[ x \right]_1^4 = 2\pi (4 - 1)

답: V = 6\pi

문제 19. x = 1 + (y-2)^2, x = 2 로 둘러싸인 영역을 x 축을 중심으로 회전시킨 입체의 부피를, 원통껍질 방법으로 구하세요.

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x 축 회전이라 y 를 기준으로 껍질을 잡아요. 두 곡선이 만나는 곳은 1 + (y-2)^2 = 2, 즉 (y-2)^2 = 1 이라 y = 1 과 y = 3 이에요.

  • 껍질 반지름 = y, 둘레 = 2\pi y
  • 껍질 높이 = 오른쪽 x - 왼쪽 x = 2 - \left[ 1 + (y-2)^2 \right] = 1 - (y-2)^2
V = \int_1^3 2\pi y \left[ 1 - (y-2)^2 \right] dy

(y-2)^2 = y^2 - 4y + 4 이므로 1 - (y-2)^2 = -y^2 + 4y - 3 이에요. 여기에 y 를 곱해요.

V = 2\pi \int_1^3 (-y^3 + 4y^2 - 3y) \, dy = 2\pi \left[ -\frac{y^4}{4} + \frac{4y^3}{3} - \frac{3y^2}{2} \right]_1^3

y=3 에서 값은 -\dfrac{81}{4} + 36 - \dfrac{27}{2} = \dfrac{9}{4}, y=1 에서 값은 -\dfrac{1}{4} + \dfrac{4}{3} - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{5}{12} 예요.

V = 2\pi \left( \frac{9}{4} - \left(-\frac{5}{12}\right) \right) = 2\pi \cdot \frac{27 + 5}{12} = 2\pi \cdot \frac{32}{12} = 2\pi \cdot \frac{8}{3}

답: V = \dfrac{16\pi}{3}

문제 21. y = x^2, y = 8\sqrt{x} 로 둘러싸인 영역을 y 축을 중심으로 회전시킨 입체의 부피를, (a) x 를 적분변수로, (b) y 를 적분변수로 각각 구하세요.

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두 곡선은 x^2 = 8\sqrt{x} 에서 만나요. 양변을 제곱하면 x^4 = 64 x, 즉 x(x^3 - 64) = 0 이라 x = 0 과 x = 4 예요. 교점은 (0,0) 과 (4,16) 이고, 0 < x < 4 에서는 8\sqrt{x} 가 위, x^2 이 아래예요.

(a) x 를 적분변수로 (껍질법). y 축 회전이라 세로 껍질을 잡아요.

  • 껍질 반지름 = x, 둘레 = 2\pi x
  • 껍질 높이 = 8\sqrt{x} - x^2
V = \int_0^4 2\pi x \left( 8\sqrt{x} - x^2 \right) dx = 2\pi \int_0^4 \left( 8x^{3/2} - x^3 \right) dx
V = 2\pi \left[ \frac{16}{5} x^{5/2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^4 = 2\pi \left( \frac{16}{5}\cdot 32 - 64 \right) = 2\pi \left( \frac{512}{5} - \frac{320}{5} \right) = 2\pi \cdot \frac{192}{5}
V = \frac{384\pi}{5}

(b) y 를 적분변수로 (워셔법). 곡선을 x 로 풀면 y = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{y}, y = 8\sqrt{x} \Rightarrow x = \dfrac{y^2}{64} 예요. 0 \le y \le 16 에서 바깥 반지름은 \sqrt{y}, 안쪽 반지름은 \dfrac{y^2}{64} 예요.

V = \int_0^{16} \pi \left[ (\sqrt{y})^2 - \left( \frac{y^2}{64} \right)^2 \right] dy = \pi \int_0^{16} \left( y - \frac{y^4}{4096} \right) dy
V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^5}{20480} \right]_0^{16} = \pi \left( 128 - \frac{1048576}{20480} \right) = \pi \left( 128 - 51.2 \right) = 76.8\pi

답: 두 방법 모두 V = \dfrac{384\pi}{5} (= 76.8\pi 로 일치해요.)

문제 25. y = x^3, y = 8, x = 0 으로 둘러싸인 영역을 직선 x = 3 을 중심으로 회전시킨 입체의 부피를, 원통껍질 방법으로 구하세요.

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영역은 y 축(x=0), 위쪽 y = 8, 곡선 y = x^3 로 둘러싸여 있어요. y = x^3 이 y=8 과 만나는 곳은 x = 2 라서 0 \le x \le 2 예요. 세로 띠 하나에서 높이는 8 - x^3 이에요.

회전축이 x = 3 이고 영역이 그 왼쪽(x \le 2)에 있으니:

  • 껍질 반지름 = 3 - x, 둘레 = 2\pi(3 - x)
  • 껍질 높이 = 8 - x^3
V = \int_0^2 2\pi (3 - x)(8 - x^3) \, dx

곱을 전개하면 (3-x)(8-x^3) = 24 - 8x - 3x^3 + x^4 이에요.

V = 2\pi \int_0^2 (24 - 8x - 3x^3 + x^4) \, dx = 2\pi \left[ 24x - 4x^2 - \frac{3x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right]_0^2

x=2 를 넣으면 48 - 16 - 12 + \dfrac{32}{5} = 20 + \dfrac{32}{5} = \dfrac{132}{5} 예요.

V = 2\pi \cdot \frac{132}{5}

답: V = \dfrac{264\pi}{5}

문제 39. 다음 적분이 나타내는 입체를 설명하세요.

\int_0^3 2\pi x^5 \, dx
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껍질법 공식은 V = \displaystyle\int 2\pi \,(\text{반지름})\,(\text{높이})\, dx 예요. 주어진 식을 이 꼴로 쪼개봐요.

2\pi x^5 = 2\pi \cdot x \cdot x^4

그러면 반지름 = x, 높이 = x^4 로 읽혀요. 반지름이 x 라는 건 회전축이 y 축이라는 뜻이고, 높이가 x^4 이라는 건 곡선이 y = x^4 라는 뜻이에요. 적분 범위 0 \le x \le 3 이 영역의 x 범위예요.

설명: 곡선 y = x^4 와 x 축(y=0), 그리고 x = 0 부터 x = 3 까지로 둘러싸인 영역을 y 축을 중심으로 회전시킨 입체예요.

참고로 값을 계산하면

\int_0^3 2\pi x^5 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^6}{6} \right]_0^3 = 2\pi \cdot \frac{729}{6} = 243\pi

답: y = x^4, y = 0, 0 \le x \le 3 영역을 y 축 둘레로 회전한 입체 (부피 243\pi)

문제 48. 그림의 색칠된 영역(y = 2 - x^2, y = x^2, x 축, y 축으로 둘러싸인 제1사분면 부분)을 x 축을 중심으로 회전시킨 입체에 대해, (a) 아무 방법으로나 부피 적분을 세우고, (b) 계산하세요.

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두 포물선 y = x^2 과 y = 2 - x^2 은 x^2 = 2 - x^2, 즉 x^2 = 1 에서 만나 제1사분면 교점은 (1,1) 이에요. 영역은 y 축을 왼쪽 경계로, 아래는 y = x^2, 위는 y = 2 - x^2 이 (1,1) 에서 만나는 모양이에요.

(a) 적분 세우기(원판·워셔법). x 축 회전이라 x 를 기준으로 워셔를 잡으면, 0 \le x \le 1 에서 바깥 반지름 = 2 - x^2, 안쪽 반지름 = x^2 이에요.

V = \int_0^1 \pi \left[ (2 - x^2)^2 - (x^2)^2 \right] dx

(b) 계산. (2 - x^2)^2 - (x^2)^2 = (4 - 4x^2 + x^4) - x^4 = 4 - 4x^2 이에요.

V = \pi \int_0^1 (4 - 4x^2) \, dx = \pi \left[ 4x - \frac{4x^3}{3} \right]_0^1 = \pi \left( 4 - \frac{4}{3} \right) = \pi \cdot \frac{8}{3}

답: V = \dfrac{8\pi}{3}

검산(껍질법): x 축 회전을 껍질로 다시 세우면 \displaystyle\int_0^1 2\pi y \sqrt{y}\, dy + \int_1^2 2\pi y \sqrt{2-y}\, dy = \dfrac{4\pi}{5} + \dfrac{28\pi}{15} = \dfrac{8\pi}{3} 로 같아요.

문제 50. 그림의 색칠된 영역(y = 4x - x^2 과 y = x 로 둘러싸인 부분)을 y 축을 중심으로 회전시킨 입체에 대해, (a) 아무 방법으로나 부피 적분을 세우고, (b) 계산하세요.

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포물선 y = 4x - x^2 과 직선 y = x 는 4x - x^2 = x, 즉 3x - x^2 = 0 = x(3-x) 에서 만나 x = 0 과 x = 3 이에요. 0 < x < 3 에서는 포물선이 위, 직선이 아래예요.

(a) 적분 세우기(껍질법). y 축 회전이라 세로 껍질을 잡아요.

  • 껍질 반지름 = x, 둘레 = 2\pi x
  • 껍질 높이 = (4x - x^2) - x = 3x - x^2
V = \int_0^3 2\pi x \left( 3x - x^2 \right) dx

(b) 계산.

V = 2\pi \int_0^3 (3x^2 - x^3) \, dx = 2\pi \left[ x^3 - \frac{x^4}{4} \right]_0^3 = 2\pi \left( 27 - \frac{81}{4} \right) = 2\pi \cdot \frac{108 - 81}{4} = 2\pi \cdot \frac{27}{4}

답: V = \dfrac{27\pi}{2}

문제 53. y = -x^2 + 6x - 8, y = 0 으로 둘러싸인 영역을 y 축을 중심으로 회전시킨 입체의 부피를 아무 방법으로나 구하세요.

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y = -x^2 + 6x - 8 = -(x-2)(x-4) 라서 x 축과 x = 2, x = 4 에서 만나고, 그 사이에서 위로 볼록한 영역이 x 축 위에 있어요.

y 축 회전이라 껍질법이 자연스러워요.

  • 껍질 반지름 = x, 둘레 = 2\pi x
  • 껍질 높이 = -x^2 + 6x - 8
V = \int_2^4 2\pi x \left( -x^2 + 6x - 8 \right) dx = 2\pi \int_2^4 (-x^3 + 6x^2 - 8x) \, dx
V = 2\pi \left[ -\frac{x^4}{4} + 2x^3 - 4x^2 \right]_2^4

x=4 에서 값은 -64 + 128 - 64 = 0, x=2 에서 값은 -4 + 16 - 16 = -4 예요.

V = 2\pi \left( 0 - (-4) \right) = 2\pi \cdot 4

답: V = 8\pi

문제 54. y = -x^2 + 6x - 8, y = 0 으로 둘러싸인 영역을 x 축을 중심으로 회전시킨 입체의 부피를 아무 방법으로나 구하세요.

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같은 영역(2 \le x \le 4)이지만 이번엔 x 축 회전이라 원판법이 자연스러워요. 반지름은 곡선의 높이 -x^2 + 6x - 8 이에요.

V = \int_2^4 \pi \left( -x^2 + 6x - 8 \right)^2 dx

제곱을 전개하면 (-x^2+6x-8)^2 = (x^2 - 6x + 8)^2 = x^4 - 12x^3 + 52x^2 - 96x + 64 예요.

V = \pi \int_2^4 (x^4 - 12x^3 + 52x^2 - 96x + 64) \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^4 + \frac{52x^3}{3} - 48x^2 + 64x \right]_2^4

x=4 에서 값은 \dfrac{512}{15}, x=2 에서 값은 \dfrac{496}{15} 예요.

V = \pi \left( \frac{512}{15} - \frac{496}{15} \right) = \pi \cdot \frac{16}{15}

답: V = \dfrac{16\pi}{15}

검산(껍질법): x 축 회전을 껍질로 세우면 곡선의 꼭짓점이 (3,1) 이라 0 \le y \le 1 이고 폭은 2\sqrt{1-y} 예요. \displaystyle\int_0^1 2\pi y \cdot 2\sqrt{1-y}\, dy = \dfrac{16\pi}{15} 로 일치해요.

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