한눈에 보기
로그는 어렵게 생긴 기호지만, 뜻은 딱 하나예요. "밑을 몇 제곱해야 이 수가 되나?"를 되묻는 거예요. 지수함수 y = a^x가 "a를 x번 곱하면 얼마?"였다면, 로그 x = \log_a y는 그 반대로 "y가 되려면 몇 제곱?"을 묻죠. 그래서 로그는 지수함수의 역함수예요.
- 로그 \log_a x = 지수의 역함수, 특히 자연로그 \ln x = \log_e x
- 로그 법칙: 곱 → 합, 몫 → 차, 거듭제곱 → 상수배
- 정의역은 x > 0, 그래프는 지수그래프를 대각선에 비춘 모양
먼저 알아야 할 것
개념 설명
로그 = 지수의 역
지수함수 y = a^x는 (a > 0, a \neq 1일 때) 입력 하나에 출력 하나가 정확히 대응해요. 그래서 거꾸로 돌릴 수 있고, 그 역함수를 로그함수라고 불러요.
말로 풀면, \log_a y는 "a를 몇 제곱해야 y가 되는가"라는 그 지수예요. 예를 들어 \log_2 8 = 3인 이유는 2^3 = 8이기 때문이에요. \log_{10} 1000 = 3인 이유도 10^3 = 1000이라서죠.
밑 a로 특히 자주 쓰는 값이 둘 있어요. 밑이 10이면 상용로그, 그리고 밑이 자연상수 e \approx 2.718이면 자연로그라 하고 \ln x로 써요. 즉 \ln x = \log_e x예요. 미적분에서는 거의 항상 \ln을 써요(6.4에서 그 이유가 나와요).
역함수라는 사실에서 바로 따라오는 두 관계가 있어요.
씌우고 벗기면 원래대로 돌아온다는 뜻이에요. 지수와 로그는 서로를 정확히 취소해요.
로그 법칙
로그의 진짜 힘은 세 가지 법칙에서 나와요. 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 게 핵심이에요.
- 곱은 합으로: \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y
- 몫은 차로: \log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y
- 거듭제곱은 상수배로: \log_a(x^r) = r \log_a x
왜 이렇게 될까요? 지수 법칙 a^m \cdot a^n = a^{m+n}을 뒤집어 읽은 것뿐이에요. 곱하는 두 수의 "지수"를 더하면 되니까, 로그(=지수)를 취하면 곱이 합이 되는 거죠.
수식 하나하나 뜯어보기
밑이 다른 로그가 필요할 때는 밑변환 공식으로 바꿔요. 계산기에는 보통 \ln과 상용로그만 있으니, 예컨대 \log_2 x를 구하려면 다음처럼 바꿔요.
즉 원하는 밑의 로그는 "자연로그끼리의 나눗셈"으로 언제든 계산할 수 있어요.
손으로 따라가는 예제
\ln 5 + \ln 8 - \ln 2를 하나의 로그로 정리해 볼게요.
- 합은 곱으로 모아요: \ln 5 + \ln 8 = \ln(5 \cdot 8) = \ln 40.
- 차는 몫으로: \ln 40 - \ln 2 = \ln\!\left(\dfrac{40}{2}\right) = \ln 20.
- 정리 끝: \ln 5 + \ln 8 - \ln 2 = \ln 20.
거꾸로, 하나로 뭉친 로그를 풀어헤칠 수도 있어요. 예를 들어 \ln\!\dfrac{x^3}{y}은 거듭제곱 법칙과 몫 법칙을 써서 3\ln x - \ln y가 돼요. 로그우도를 다룰 때 이렇게 "곱을 합으로 펼치는" 조작을 아주 자주 하게 돼요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 로그는 지수함수의 역함수예요: y = a^x \Leftrightarrow x = \log_a y, 자연로그는 \ln x = \log_e x.
- 로그 법칙이 핵심: 곱 → 합, 몫 → 차, 거듭제곱 → 상수배. 큰 수·확률 곱을 다루기 쉬운 합으로 바꿔줘요.
- 정의역은 x > 0, 그래프는 지수그래프를 y = x에 대칭시킨 모양이에요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 6.4에서 로그를 미분해요. \ln x의 도함수가 놀랍도록 깔끔한 1/x라서, 왜 미적분이 자연로그를 사랑하는지 알게 될 거예요.