한눈에 보기
세상엔 "지금 많을수록 더 빨리 늘어나는" 것들이 있어요. 통장에 돈이 많으면 붙는 이자도 커지고, 세균이 많으면 새로 생기는 세균도 많죠. 반대로 방사성 물질은 "많이 남아 있을수록 더 빨리 줄어들어요". 이 둘의 공통점은 변화율이 현재 양에 비례한다는 거예요. 이걸 식으로 쓰면 \frac{dy}{dt}=ky이고, 이 식을 풀면 언제나 지수함수 y=y_0 e^{kt}가 나와요.
- 변화율이 현재량에 비례하는 상황: \frac{dy}{dt}=ky
- 그 해는 언제나 지수함수: y=y_0 e^{kt}
- k>0이면 성장, k<0이면 감쇠(반감기)
먼저 알아야 할 것
개념 설명
y'=ky의 해
"변화율이 현재 양에 비례한다"를 식으로 옮기면 이래요.
y가 지금 양, \frac{dy}{dt}가 그 양이 변하는 속도, k가 비례상수예요. 이 식을 만족하는 함수는 뭘까요? "미분했더니 자기 자신의 k배가 되는 함수"를 찾으면 되는데, 우리는 그런 함수를 이미 알아요 — 바로 e^{kt}죠. 실제로 정답은 이거예요.
여기서 y_0은 t=0일 때의 값, 즉 처음 양이에요(y(0)=y_0 e^0=y_0). 확인해볼게요. y=y_0 e^{kt}를 미분하면 \frac{dy}{dt}=y_0\cdot k\,e^{kt}=k\,(y_0 e^{kt})=ky. 정말 원래 식으로 돌아오죠. 그리고 이 꼴 말고 다른 해는 없어요 — \frac{dy}{dt}=ky의 답은 오직 지수함수뿐이에요.
k의 부호가 방향을 정해요
상수 k의 부호가 성장이냐 감쇠냐를 갈라요.
- k>0: 시간이 갈수록 e^{kt}가 커지니 지수적 성장. 인구, 복리, 세균 배양이 여기예요.
- k<0: e^{kt}가 0을 향해 줄어드니 지수적 감쇠. 방사성 붕괴, 약물 배출이 여기예요.
k의 크기(절댓값)는 "얼마나 빠른가"를 정해요. \vert k\vert가 클수록 더 급하게 늘거나 줄어요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
반감기 문제를 풀어볼게요. 어떤 방사성 물질의 반감기(절반으로 주는 데 걸리는 시간)가 30년이에요. 100g에서 출발하면 90년 뒤엔 얼마가 남을까요?
- 모델 세우기: 붕괴이므로 y(t)=y_0 e^{kt}, y_0=100이에요.
- k 구하기: 반감기가 30년이니 y(30)=\frac{1}{2}y_0. 식에 넣으면 y_0 e^{30k}=\frac{1}{2}y_0, 양변을 y_0으로 나눠 e^{30k}=\frac{1}{2}.
- 로그로 풀기: 30k=\ln\frac{1}{2}=-\ln 2이므로 k=-\dfrac{\ln 2}{30}\approx -0.0231. 음수죠 — 감쇠니까요.
- 90년 뒤: 90은 반감기의 3배(90=3\times 30)예요. 그러니 절반을 세 번 거쳐 100\times\left(\frac{1}{2}\right)^3=100\times\frac{1}{8}=12.5g.
식으로도 같은 답이에요: y(90)=100\,e^{90k}=100\,e^{-3\ln 2}=100\cdot 2^{-3}=12.5g. 반감기를 아는 문제는 "반감기의 몇 배인가"만 세면 로그 없이도 암산돼요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 변화율이 현재량에 비례(\frac{dy}{dt}=ky)하면, 해는 언제나 y=y_0 e^{kt}예요.
- k>0은 성장(인구·복리), k<0은 감쇠(방사성 붕괴). \vert k\vert가 클수록 빨라요.
- 반감기 T와의 관계는 k=-\dfrac{\ln 2}{T}. 반감기의 배수만 세면 암산으로도 풀려요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 이건 가장 단순한 미분방정식이에요. 9장에서 방향장·분리변수법으로 더 일반적인 미분방정식을 풀고, 인구 모델은 성장에 한계를 넣은 로지스틱 방정식(9.4)으로 확장돼요.