(a) \sin^{-1} 의 치역은 [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] 이에요. 이 구간에서 \sin\theta = \frac{1}{2} 가 되는 각을 찾으면 돼요.

(b) \cos^{-1} 의 치역은 [0, \pi] 이에요. 이 구간에서 \cos\theta = -1 이 되는 각은 \theta = \pi 예요.

검산. \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} 이고 \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], \cos\pi = -1 이고 \pi \in [0,\pi] 이므로 둘 다 맞아요.

(a) \arctan 의 정의역은 실수 전체이고 \tan(\arctan x) = x 라는 소거공식이 항상 성립해요. 10 은 실수이므로

(b) 여기서는 \frac{5\pi}{4} 가 \arcsin 의 치역 [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] 밖에 있으므로 그냥 소거하면 안 돼요. 먼저 안쪽 값을 계산해요.

이제 \arcsin 을 적용하면, 치역 안에서 \sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} 가 되는 각을 찾아요.

검산. \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} 이고 -\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] 이므로 맞아요.

\theta = \tan^{-1}\frac{2}{3} 라 두면 \tan\theta = \frac{2}{3} 이고, \theta 는 (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) 안에 있어요. \tan\theta > 0 이므로 \theta 는 1사분면 각이에요.

직각삼각형으로 생각하면 대변(opposite) = 2, 밑변(adjacent) = 3 이므로 빗변은

이에요. 따라서

검산. \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{2/\sqrt{13}}{3/\sqrt{13}} = \dfrac{2}{3} 이므로 맞아요.

\theta = \sin^{-1}\frac{5}{13} 라 두면 \sin\theta = \frac{5}{13} 이고, \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] 이므로 \cos\theta \ge 0 이에요. 따라서

배각공식 \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta 를 쓰면

검산. 다른 배각공식으로 확인하면 \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 2\cdot\frac{144}{169} - 1 = \frac{288 - 169}{169} = \frac{119}{169} 로 같아요.

y = \cot^{-1}x 라 두면 \cot y = x 이고 y \in (0, \pi) 예요. 양변을 x 에 대해 음함수 미분해요.

따라서

여기서 항등식 \csc^2 y = 1 + \cot^2 y 를 쓰고 \cot y = x 를 대입하면

이 되어 증명이 끝나요.

연쇄법칙과 \dfrac{d}{dx}\sin^{-1}u = \dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\dfrac{du}{dx} 를 쓰면 돼요. 여기서 u = 5x, \dfrac{du}{dx} = 5 이므로

검산. \arcsin'(u) = \dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}} 형태에 u=5x 를 넣고 안쪽 도함수 5 를 곱한 결과와 일치해요.

연쇄법칙과 \dfrac{d}{dx}\cos^{-1}u = -\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\dfrac{du}{dx} 를 써요. u = 3 - 2x, \dfrac{du}{dx} = -2 이므로

함수 g 의 정의역. \cos^{-1} 의 정의역 조건 -1 \le 3 - 2x \le 1 을 풀어요.

이므로 정의역은 [1, 2] 예요.

도함수 g' 의 정의역. 분모가 0 이 아니어야 하므로 1 - (3-2x)^2 > 0, 즉 (3-2x)^2 < 1 이 필요해요.

이므로 정의역은 (1, 2) 예요. 양 끝점 x=1, 2 에서는 분모가 0 이 되어 미분이 안 돼요.

곱의 법칙과 연쇄법칙으로 각 항을 미분해요.

가운데 항을 정리하면, \sqrt{1 - x^2/16} = \dfrac{\sqrt{16 - x^2}}{4} 이므로

마지막 항은 -\dfrac{x}{\sqrt{16 - x^2}} 이므로 가운데 항과 정확히 상쇄돼요. 따라서

로 아주 깔끔해져요. 이제 x = 2 를 넣으면

검산. \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} 이므로 \sin^{-1}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} 가 맞아요.

먼저 점이 곡선 위에 있는지 확인해요. x = 1 일 때 \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} 이므로 y = 3\cdot\frac{\pi}{3} = \pi 로 점 (1, \pi) 가 맞아요.

이제 도함수를 구해요.

x = 1 에서 기울기는

따라서 접선의 방정식은

곱의 법칙을 써요. \dfrac{d}{dx}\sqrt{1 - x^2} = \dfrac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} 이고 \dfrac{d}{dx}\arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 이므로

두 번째 항에서 \sqrt{1 - x^2} 가 약분되어 1 이 되므로

검산. f 는 (우함수)\times(기함수)=기함수이므로 f' 은 우함수여야 해요. 실제로 f'(x) = 1 - \dfrac{x\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} 는 x \to -x 로 바꿔도 변하지 않아요. 또 원점 근처에서 f(x) \approx 1 \cdot x 라 기울기가 1 이어야 하는데, 위 식에 x = 0 을 넣으면 정확히 f'(0) = 1 이 나와요.

분자를 두 개로 나누어 각각 적분해요.

첫 번째 적분은 \arctan x 예요. 두 번째 적분은 u = 1 + x^2, du = 2x\,dx 치환으로 \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) 가 돼요. 따라서

검산. 미분하면 \dfrac{1}{1 + x^2} + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{1 + x^2} = \dfrac{1 + x}{1 + x^2} 로 피적분함수로 돌아와요.

원판법(disk method)을 써요. 부피는

공식 \displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C 를 a = 2 로 쓰면

\arctan 1 = \frac{\pi}{4}, \arctan 0 = 0 이므로

(a) 안쪽 \sin^{-1}x 가 정의되려면 -1 \le x \le 1 이어야 해요. 이 정의역 안에서는 소거공식이 성립해서

이 돼요. 즉 그래프는 x = -1 부터 x = 1 까지의 직선 y = x 의 선분이에요. 정의역 밖(\vert x\vert > 1)에서는 정의되지 않아요.

(b) 이번에는 정의역이 실수 전체이고, 치역은 \sin^{-1} 의 치역인 [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] 예요. x 를 치역 안으로 접어 넣은 값이 나와요.

x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] 에서는 그대로 g(x) = x 이고, x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] 에서는 \sin x = \sin(\pi - x) 이고 \pi - x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] 이므로 g(x) = \pi - x 가 돼요. 정리하면

이고 주기 2\pi 로 반복돼요. 결과적으로 -\frac{\pi}{2} 와 \frac{\pi}{2} 사이를 오르내리는 기울기 \pm 1 의 삼각파(triangle wave) 모양이에요. 봉우리는 x = \frac{\pi}{2} (값 \frac{\pi}{2}), 골은 x = -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} (값 -\frac{\pi}{2})에 있어요.

검산. 두 경우 모두 안쪽 함수와 바깥 함수를 합성한 뒤 치역/정의역 제한을 반영한 것으로, (a)는 정의역이 [-1,1] 로 잘리고 (b)는 값이 [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] 로 갇히는 차이를 확인할 수 있어요.