Hyeontae JoAjou University
Lecture · 7

7.1 부분적분

Integration by Parts

한눈에 보기

\int x e^x\,dx 같은 적분은 치환으로 안 풀려요. 곱으로 된 함수를 적분해야 하는데, 마땅한 규칙이 없거든요. 여기서 쓰는 게 부분적분(integration by parts)이에요. 곱의 미분 규칙을 거꾸로 뒤집은 거예요. 한마디로 "지금 못 푸는 적분을, 풀 수 있는 다른 적분으로 바꿔치기"하는 기술이에요.

  • 부분적분 공식 \int u\,dv = uv - \int v\,du
  • u와 dv를 잘 고르는 요령(LIATE)
  • 반복 적용, 그리고 원래로 돌아오는 순환형(\int e^x\sin x\,dx)

먼저 알아야 할 것

개념 설명

부분적분 공식은 어디서 오나

곱의 미분 규칙에서 출발해요. 두 함수 u, v에 대해

\frac{d}{dx}(uv) = u\,\frac{dv}{dx} + v\,\frac{du}{dx}

양변을 x로 적분하면 좌변은 그냥 uv가 돼요(미분한 걸 다시 적분하니까). 그러면

uv = \int u\,dv + \int v\,du

여기서 \int v\,du를 오른쪽으로 넘기면 부분적분 공식이 완성돼요.

\int u\,dv = uv - \int v\,du

핵심은 이거예요. 왼쪽의 어려운 적분 \int u\,dv를, 오른쪽의 더 쉬운 적분 \int v\,du로 바꾸는 거죠. \int v\,du가 원래보다 쉬워지도록 u와 dv를 고르는 게 이 방법의 전부예요.

u와 dv 고르기 — LIATE

적분할 곱을 두 조각으로 나눠요. 하나는 u(미분할 부분), 다른 하나는 dv(적분할 부분)로요. 잘못 고르면 오히려 더 복잡해지니, 순서 요령이 있어요. LIATE라고 외워요 — u로 고를 우선순위예요.

  • Log: 로그함수 \ln x
  • Inverse trig: 역삼각함수 \arctan x 등
  • Algebraic: 다항식 x, x^2
  • Trig: 삼각함수 \sin x, \cos x
  • Exponential: 지수함수 e^x

앞쪽(L에 가까운 것)을 u로, 뒤쪽을 dv로 잡아요. 이유는 간단해요. u는 미분해서 간단해지는 게 좋고(다항식은 미분하면 차수가 줄죠), dv는 적분하기 쉬운 게 좋아요(e^x, \sin x는 적분해도 그대로). \int x e^x\,dx라면 x가 A, e^x가 E니까 u = x, dv = e^x\,dx로 잡는 거예요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

★ \int x e^x\,dx를 구해봅시다.

1단계 — 조각 나누기. LIATE에서 x(A)가 e^x(E)보다 앞이니 u = x, dv = e^x\,dx로 골라요.

2단계 — du와 v 만들기. u는 미분, dv는 적분해요.

u = x \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = e^x\,dx \;\Rightarrow\; v = e^x

3단계 — 공식에 넣기. \int u\,dv = uv - \int v\,du에 대입하면

\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx

4단계 — 남은 적분 풀기. 오른쪽 \int e^x\,dx = e^x는 바로 풀려요. 처음의 곱 적분이 이렇게 간단한 적분으로 바뀐 게 핵심이에요.

\int x e^x\,dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C

검산은 미분으로 해요. (x-1)e^x를 곱규칙으로 미분하면 1\cdot e^x + (x-1)e^x = x e^x, 원래 함수가 나오니 맞아요.

참고 — 순환형. \int e^x \sin x\,dx는 부분적분을 두 번 하면 오른쪽에 원래 적분이 다시 나타나요. 그때는 그 항을 왼쪽으로 넘겨 방정식처럼 풀면 돼요. "돌아왔으니 실패"가 아니라, 오히려 그게 답으로 가는 길이에요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 부분적분 = 곱의 미분 규칙을 거꾸로 뒤집은 것. \int u\,dv = uv - \int v\,du.
  • 어려운 적분 \int u\,dv를 더 쉬운 \int v\,du로 바꿔치기하는 게 목표예요.
  • u는 미분(간단해지게), dv는 적분(적분 쉽게). 고르는 순서는 LIATE.
  • 반복 적용이 필요할 때도 있고, \int e^x\sin x처럼 순환형은 방정식으로 풀어요.
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 7.5에서 "어떤 적분에 어떤 방법을 쓸지"를 종합 전략으로 정리해요. 부분적분은 그 도구함의 핵심 하나예요.

Exercises

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7.1 부분적분 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.524

먼저 스스로 풀어본 뒤 "풀이 보기" 를 눌러 확인하세요.

문제 2. 주어진 u, dv 를 사용해 부분적분으로 적분을 계산하세요. (u = \ln x, dv = \sqrt{x}\, dx)

\int \sqrt{x}\, \ln x \, dx
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부분적분 공식은 \int u \, dv = uv - \int v \, du 예요. 문제에서 지정한 대로 나눠요.

u = \ln x, \qquad dv = \sqrt{x}\, dx

각각 미분하고 적분하면 이렇게 돼요.

du = \frac{1}{x}\, dx, \qquad v = \frac{2}{3} x^{3/2}

공식에 대입해요.

\int \sqrt{x}\, \ln x \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \int \frac{2}{3} x^{3/2} \cdot \frac{1}{x}\, dx

남은 적분에서 x^{3/2}/x = x^{1/2} 이므로 간단해져요.

= \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{2}{3} \int x^{1/2}\, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C

최종 답은 다음과 같아요.

\int \sqrt{x}\, \ln x \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{4}{9} x^{3/2} + C

검산. 답을 미분해서 원래 피적분함수가 나오는지 확인해요. 곱의 미분법으로

\frac{d}{dx}\left( \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x \right) = x^{1/2} \ln x + \frac{2}{3} x^{1/2}, \qquad \frac{d}{dx}\left( -\frac{4}{9} x^{3/2} \right) = -\frac{2}{3} x^{1/2}

둘을 더하면 \frac{2}{3} x^{1/2} 항이 상쇄되어 \sqrt{x}\, \ln x 가 남아요. 원래 함수와 일치하니 정답이에요.

문제 4. 주어진 u, dv 를 사용해 부분적분으로 적분을 계산하세요. (u = \sin^{-1} x, dv = dx)

\int \sin^{-1} x \, dx
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피적분함수가 하나뿐이라 부분적분이 안 될 것 같지만, dv = dx 로 두는 것이 요령이에요.

u = \sin^{-1} x, \qquad dv = dx

각각 미분하고 적분해요. (\sin^{-1} x 의 도함수는 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 예요.)

du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx, \qquad v = x

공식에 대입해요.

\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx

남은 적분은 w = 1 - x^2 로 치환하면 풀려요. dw = -2x\, dx 이므로 x\, dx = -\frac{1}{2}\, dw 예요.

\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx = -\frac{1}{2} \int w^{-1/2}\, dw = -\sqrt{w} = -\sqrt{1 - x^2}

따라서 부호에 주의하며 정리하면

\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C

검산. 미분해요.

\frac{d}{dx}\left( x \sin^{-1} x \right) = \sin^{-1} x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\left( \sqrt{1 - x^2} \right) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

두 결과를 더하면 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} 항이 상쇄되어 \sin^{-1} x 만 남아요. 원래 함수와 같으니 정답이에요.

문제 23. 적분을 계산하세요.

\int e^{2\theta} \sin 3\theta \, d\theta
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지수함수와 삼각함수의 곱은 부분적분을 두 번 써서 원래 적분이 다시 나오게 만든 뒤, 방정식처럼 푸는 유형이에요. 구하려는 적분을 I 라 부를게요.

I = \int e^{2\theta} \sin 3\theta \, d\theta

u = e^{2\theta}, dv = \sin 3\theta \, d\theta 로 두면 du = 2 e^{2\theta}\, d\theta, v = -\frac{1}{3}\cos 3\theta 예요.

I = -\frac{1}{3} e^{2\theta} \cos 3\theta + \frac{2}{3} \int e^{2\theta} \cos 3\theta \, d\theta

남은 적분에 다시 부분적분을 써요. 이번엔 u = e^{2\theta}, dv = \cos 3\theta \, d\theta 이므로 v = \frac{1}{3}\sin 3\theta 예요.

\int e^{2\theta} \cos 3\theta \, d\theta = \frac{1}{3} e^{2\theta} \sin 3\theta - \frac{2}{3} \int e^{2\theta} \sin 3\theta \, d\theta = \frac{1}{3} e^{2\theta} \sin 3\theta - \frac{2}{3} I

이것을 위 식에 대입하면 I 가 양변에 나타나요.

I = -\frac{1}{3} e^{2\theta} \cos 3\theta + \frac{2}{9} e^{2\theta} \sin 3\theta - \frac{4}{9} I

I 항을 한쪽으로 모아요.

\frac{13}{9} I = e^{2\theta} \left( \frac{2}{9} \sin 3\theta - \frac{1}{3} \cos 3\theta \right)

양변에 \frac{9}{13} 을 곱하면 최종 답이 나와요.

\int e^{2\theta} \sin 3\theta \, d\theta = \frac{1}{13} e^{2\theta} \left( 2 \sin 3\theta - 3 \cos 3\theta \right) + C

검산. 곱의 미분법으로 미분해요.

\frac{1}{13}\left[ 2 e^{2\theta} (2 \sin 3\theta - 3 \cos 3\theta) + e^{2\theta} (6 \cos 3\theta + 9 \sin 3\theta) \right]

괄호 안을 정리하면 4 \sin 3\theta - 6 \cos 3\theta + 6 \cos 3\theta + 9 \sin 3\theta = 13 \sin 3\theta 라서 \frac{1}{13} e^{2\theta} \cdot 13 \sin 3\theta = e^{2\theta} \sin 3\theta 예요. 원래 함수와 일치해요.

문제 28. 적분을 계산하세요.

\int_0^{1/2} \theta \sin 3\pi\theta \, d\theta
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\theta 와 삼각함수의 곱이니 u = \theta 로 두는 부분적분이에요. 먼저 부정적분을 구할게요.

u = \theta, \qquad dv = \sin 3\pi\theta \, d\theta

du = d\theta 이고, \sin 3\pi\theta 의 적분은 -\frac{1}{3\pi}\cos 3\pi\theta 예요.

\int \theta \sin 3\pi\theta \, d\theta = -\frac{\theta}{3\pi} \cos 3\pi\theta + \frac{1}{3\pi} \int \cos 3\pi\theta \, d\theta

남은 적분은 \frac{1}{3\pi}\sin 3\pi\theta 이므로

= -\frac{\theta}{3\pi} \cos 3\pi\theta + \frac{1}{9\pi^2} \sin 3\pi\theta

이제 0 부터 \frac{1}{2} 까지 값을 넣어요. \theta = \frac{1}{2} 일 때 3\pi\theta = \frac{3\pi}{2} 라서 \cos \frac{3\pi}{2} = 0, \sin \frac{3\pi}{2} = -1 이에요.

\left[ -\frac{\theta}{3\pi} \cos 3\pi\theta + \frac{1}{9\pi^2} \sin 3\pi\theta \right]_0^{1/2} = \left( 0 + \frac{1}{9\pi^2}(-1) \right) - \left( 0 + 0 \right)

최종 답이에요.

\int_0^{1/2} \theta \sin 3\pi\theta \, d\theta = -\frac{1}{9\pi^2}

검산. 부정적분 F(\theta) = -\frac{\theta}{3\pi}\cos 3\pi\theta + \frac{1}{9\pi^2}\sin 3\pi\theta 를 미분해요.

F'(\theta) = -\frac{1}{3\pi}\cos 3\pi\theta + \frac{\theta}{3\pi} \cdot 3\pi \sin 3\pi\theta + \frac{1}{9\pi^2} \cdot 3\pi \cos 3\pi\theta

-\frac{1}{3\pi}\cos 3\pi\theta 와 \frac{1}{3\pi}\cos 3\pi\theta 가 상쇄되어 \theta \sin 3\pi\theta 만 남아요. 원래 피적분함수와 일치하니 부정적분이 맞고, 정적분 값은 음수인데 \theta 의 가중치가 \sin 이 음수인 구간에 더 크게 걸리므로 부호도 타당해요.

문제 38. 적분을 계산하세요.

\int_1^2 \frac{(\ln x)^2}{x^3}\, dx
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(\ln x)^2 을 미분해서 차수를 낮추는 방향으로 부분적분을 써요. 먼저 부정적분을 구할게요.

u = (\ln x)^2, \qquad dv = x^{-3}\, dx

du = \frac{2 \ln x}{x}\, dx 이고 v = -\frac{1}{2x^2} 예요.

\int \frac{(\ln x)^2}{x^3}\, dx = -\frac{(\ln x)^2}{2x^2} + \int \frac{\ln x}{x^3}\, dx

남은 적분 \int \frac{\ln x}{x^3}\, dx 에 다시 부분적분을 써요. u = \ln x, dv = x^{-3}\, dx 이므로 du = \frac{1}{x}\, dx, v = -\frac{1}{2x^2} 예요.

\int \frac{\ln x}{x^3}\, dx = -\frac{\ln x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int x^{-3}\, dx = -\frac{\ln x}{2x^2} - \frac{1}{4x^2}

둘을 합치면 부정적분이 완성돼요.

\int \frac{(\ln x)^2}{x^3}\, dx = -\frac{(\ln x)^2}{2x^2} - \frac{\ln x}{2x^2} - \frac{1}{4x^2} + C

이제 1 부터 2 까지 대입해요. x = 1 에서는 \ln 1 = 0 이라 앞 두 항이 사라지고 -\frac{1}{4} 만 남아요.

\left[ -\frac{(\ln x)^2}{2x^2} - \frac{\ln x}{2x^2} - \frac{1}{4x^2} \right]_1^2 = \left( -\frac{(\ln 2)^2}{8} - \frac{\ln 2}{8} - \frac{1}{16} \right) - \left( -\frac{1}{4} \right)

\frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16} 이므로 최종 답은 다음과 같아요.

\int_1^2 \frac{(\ln x)^2}{x^3}\, dx = \frac{3}{16} - \frac{\ln 2}{8} - \frac{(\ln 2)^2}{8}

검산. 부정적분 F(x) = -\frac{(\ln x)^2}{2x^2} - \frac{\ln x}{2x^2} - \frac{1}{4x^2} 를 미분하면 각 항의 도함수가 서로 상쇄되어 \frac{(\ln x)^2}{x^3} 만 남아요. 수치로도 \frac{3}{16} - \frac{\ln 2}{8} - \frac{(\ln 2)^2}{8} \approx 0.041 로, 피적분함수가 이 구간에서 양수이고 값이 작은 것과 잘 맞아요.

문제 67. 원통껍질법으로, 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 지정된 축 둘레로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요.

y = \cos\frac{\pi x}{2}, \quad y = 0, \quad 0 \le x \le 1; \quad \text{about the } y\text{-axis}
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y 축 둘레로 회전할 때 원통껍질법의 부피는 V = 2\pi \int (\text{반지름}) (\text{높이})\, dx 예요. 반지름은 x, 높이는 \cos\frac{\pi x}{2} 이므로

V = 2\pi \int_0^1 x \cos\frac{\pi x}{2}\, dx

안쪽 적분에 부분적분을 써요. u = x, dv = \cos\frac{\pi x}{2}\, dx 이면 du = dx, v = \frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2} 예요.

\int x \cos\frac{\pi x}{2}\, dx = \frac{2}{\pi} x \sin\frac{\pi x}{2} - \frac{2}{\pi} \int \sin\frac{\pi x}{2}\, dx

남은 적분은 -\frac{2}{\pi}\cos\frac{\pi x}{2} 이므로

= \frac{2}{\pi} x \sin\frac{\pi x}{2} + \frac{4}{\pi^2} \cos\frac{\pi x}{2}

0 부터 1 까지 대입해요. x = 1 에서 \sin\frac{\pi}{2} = 1, \cos\frac{\pi}{2} = 0 이고, x = 0 에서 \sin 0 = 0, \cos 0 = 1 이에요.

\int_0^1 x \cos\frac{\pi x}{2}\, dx = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}

따라서 부피는

V = 2\pi \left( \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi^2} \right) = 4 - \frac{8}{\pi}

검산. \frac{8}{\pi} \approx 2.546 이라 V \approx 1.45 로 양수예요. 피적분함수 x\cos\frac{\pi x}{2} 가 구간에서 음이 아니므로 부피가 양수인 것과 맞고, 부정적분을 미분하면 다시 x\cos\frac{\pi x}{2} 가 나와요.

문제 69. 원통껍질법으로, 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 지정된 축 둘레로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요.

y = e^{-x}, \quad y = 0, \quad x = -1, \quad x = 0; \quad \text{about } x = 1
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회전축이 x = 1 이라 원통껍질의 반지름은 x 에서 축까지의 거리예요. 영역은 -1 \le x \le 0 이므로 항상 x < 1 이고, 반지름은 1 - x 로 양수예요. 껍질 높이는 e^{-x} 예요.

V = 2\pi \int_{-1}^{0} (1 - x)\, e^{-x}\, dx

부정적분부터 구할게요. 적분을 둘로 쪼개요.

\int (1 - x)\, e^{-x}\, dx = \int e^{-x}\, dx - \int x\, e^{-x}\, dx

\int e^{-x}\, dx = -e^{-x} 이고, \int x\, e^{-x}\, dx 는 부분적분(u = x, dv = e^{-x}\, dx)으로 -x e^{-x} - e^{-x} 예요. 대입하면 놀랍게 간단해져요.

\int (1 - x)\, e^{-x}\, dx = -e^{-x} - \left( -x e^{-x} - e^{-x} \right) = x e^{-x}

이제 -1 부터 0 까지 대입해요.

V = 2\pi \left[ x e^{-x} \right]_{-1}^{0} = 2\pi \left( 0 - (-1) e^{1} \right) = 2\pi e

검산. 부정적분 x e^{-x} 를 미분하면 e^{-x} - x e^{-x} = (1 - x) e^{-x} 로 원래 피적분함수와 일치해요. V = 2\pi e \approx 17.1 로 양수라 타당해요.

문제 71. 곡선 y = \ln x, y = 0, x = 2 로 둘러싸인 영역을 다음 각 축 둘레로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요. (a) y 축 (b) x 축

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영역을 먼저 파악해요. y = \ln x 는 x = 1 에서 y = 0 과 만나므로, 영역은 1 \le x \le 2, 0 \le y \le \ln x 예요.

(a) y 축 둘레. 원통껍질법을 써요. 반지름 x, 높이 \ln x 이므로

V = 2\pi \int_1^2 x \ln x \, dx

부분적분(u = \ln x, dv = x\, dx)으로 v = \frac{x^2}{2} 예요.

\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}

1 부터 2 까지 대입하면 (\ln 1 = 0)

\int_1^2 x \ln x \, dx = \left( 2 \ln 2 - 1 \right) - \left( -\frac{1}{4} \right) = 2 \ln 2 - \frac{3}{4}

따라서

V = 2\pi \left( 2 \ln 2 - \frac{3}{4} \right) = 4\pi \ln 2 - \frac{3\pi}{2}

검산. 4\pi \ln 2 \approx 8.71, \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 이라 V \approx 4.0 으로 양수예요.

(b) x 축 둘레. 원판법을 써요. 각 x 에서 반지름이 \ln x 인 원판이므로

V = \pi \int_1^2 (\ln x)^2 \, dx

\int (\ln x)^2 \, dx 는 부분적분으로 x (\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x 예요.

\int_1^2 (\ln x)^2 \, dx = \left[ x (\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x \right]_1^2 = \left( 2(\ln 2)^2 - 4 \ln 2 + 4 \right) - 2 = 2(\ln 2)^2 - 4 \ln 2 + 2

따라서

V = \pi \left( 2(\ln 2)^2 - 4 \ln 2 + 2 \right) = 2\pi \left( (\ln 2)^2 - 2 \ln 2 + 1 \right) = 2\pi (\ln 2 - 1)^2

검산. 원통껍질법으로 다시 계산하면 V = 2\pi \int_0^{\ln 2} y (2 - e^y)\, dy = 2\pi \left[ (\ln 2)^2 - (2\ln 2 - 1) \right] = 2\pi (\ln 2 - 1)^2 로 같은 값이 나와요. 수치로 2\pi (\ln 2 - 1)^2 \approx 0.59 예요.

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