한눈에 보기
앞 절까지 적분으로 넓이·부피·일 같은 걸 구했죠. 이 절은 그 적분을 경제와 생물학에 써먹어요. 핵심 아이디어는 하나예요 — "조금씩 쌓인 걸 다 더한다". 값이 계속 변하는 상황에서, 짧은 구간의 기여를 적분으로 전부 합치면 총량이나 평균이 나와요.
- 소비자잉여: 수요곡선 아래, 시장가격 위 넓이 = 소비자가 이득 본 총액
- 누적량: 혈류량처럼 위치·시간마다 변하는 값을 적분으로 총합
- 공통 원리: 잘게 쪼갠 기여 \to 적분으로 합산
먼저 알아야 할 것
개념 설명
수요곡선과 시장가격
수요곡선 p = p(x)는 "수량이 x일 때 소비자가 낼 용의가 있는 가격"이에요. 보통 우하향해요 — 많이 팔릴수록 그 마지막 한 개에 매길 수 있는 값은 낮아지니까요. 시장에서 실제 팔린 양을 X, 그때 가격을 P = p(X)라 할게요. 모든 소비자가 이 P만 내고 사요.
소비자잉여
그런데 앞쪽 소비자들은 원래 P보다 더 낼 용의가 있었어요. 예를 들어 x번째 손님은 p(x)까지 낼 마음이었는데 실제론 P만 냈으니, p(x) - P만큼 이득을 본 거예요. 이 이득을 모든 소비자(0부터 X까지)에 대해 쌓으면 소비자잉여(consumer surplus)가 돼요. 그림으로는 수요곡선 아래, 가격선 P 위 넓이예요.
왜 적분인가
x를 아주 잘게 쪼개면, 폭 dx짜리 작은 무리가 얻는 이득이 대략 [p(x) - P]\,dx예요. 이 조각들을 0부터 X까지 전부 더하는 게 바로 적분이죠. "변하는 이득을 쌓아 총합" — 이 절 내내 반복되는 그 아이디어예요.
혈류량 — 같은 틀
생물학 응용인 혈류량도 정확히 같은 틀이에요. 혈관 단면을 중심에서 거리 r인 얇은 고리들로 쪼개면 고리 하나의 넓이는 2\pi r\,dr이고, 혈액은 중심일수록 빨라서 속도 v(r)이 위치마다 달라요. "그 고리의 속도 × 고리 넓이"를 중심부터 혈관 벽(반지름 R)까지 다 더하면 단위시간당 총 혈류량이 나와요:
수요곡선에서 "수량마다 다른 이득"을 쌓았듯, 여기선 "고리마다 다른 속도 × 고리 넓이"를 쌓는 거예요 — 소비자잉여와 같은 원리죠.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
수요곡선이 p(x) = 1200 - 0.2x - 0.0001x^2이고, 실제로 800개가 팔렸을 때 소비자잉여를 구해봐요.
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800개째의 시장가격부터 구해요. P = p(800) = 1200 - 0.2(800) - 0.0001(800)^2 = 1200 - 160 - 64 = 976. 모두 이 가격 976에 샀어요.
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잉여를 적분해요 — 각 수량에서 "수요가 매긴 값 p(x) 빼기 실제로 낸 값 976".
- 항마다 적분하면
- x = 800을 넣으면 224(800) - 0.1(800)^2 - \tfrac{0.0001}{3}(800)^3 = 179{,}200 - 64{,}000 - 17{,}067 \approx 98{,}133이에요.
그래서 소비자잉여는 약 98,133(단위는 가격과 같아요)이에요. 소비자들이 시장가격 976만 내서 총 이만큼 이득을 본 셈이죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 이 절의 한 문장: "변하는 값을 잘게 쪼개 적분으로 총합·평균을 낸다."
- 소비자잉여 = \int_0^X [\,p(x) - P\,]\,dx — 수요곡선 아래, 가격선 위 넓이 = 소비자가 본 총 이득.
- 순서는 ① X와 P 중 주어진 쪽으로 P = p(X) 관계에서 나머지를 구하고 → ② 0부터 X까지 적분.
- 혈류량·소득분포 같은 생물·경제 응용도 전부 "구간마다 다른 기여를 쌓는다"는 같은 원리예요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 8.5 확률이에요. 확률밀도를 적분해 확률과 기대값을 구하는 게, 여기서 본 "쌓아 더하기"의 곧바른 연장이에요.