한눈에 보기
동전이나 주사위는 결과가 몇 가지로 딱 떨어져요. 그런데 "버스를 기다린 시간", "부품의 수명", "사람의 키"처럼 연속적인 값을 갖는 것은 어떻게 확률을 다룰까요? 값이 무한히 촘촘하니 "정확히 3.14초일 확률"은 사실상 0이에요. 그래서 구간에 걸친 확률을 적분으로 재요. 이때 쓰는 것이 확률밀도함수(probability density function, PDF)예요.
- 확률밀도함수 f(x) — 항상 0 이상, 전체 넓이가 1
- 구간의 확률 = 그 구간 아래 넓이(P(a \le X \le b) = \int_a^b f\,dx)
- 기댓값(평균) \mu = \int x f(x)\,dx
- 정규분포 — 자연·데이터에 가장 흔한 종 모양
먼저 알아야 할 것
개념 설명
확률밀도함수(PDF)
연속적인 값을 갖는 양(예: 기다린 시간)을 확률변수 X라고 불러요. 이 X의 행동을 나타내는 함수가 확률밀도함수 f예요. f는 두 가지 조건을 만족해요.
- 어디서나 f(x) \ge 0 (음수 확률은 없으니까요)
- 전체 넓이가 1: \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1
여기서 f(x) 자체는 확률이 아니에요. f(x)는 "그 지점 근처에 값이 얼마나 빽빽하게 몰려 있나"를 나타내는 밀도예요. 실제 확률은 밀도를 구간에 걸쳐 적분해야 나와요. 그래서 밀도 값 자체는 1을 넘어도 돼요 — 좁은 구간에 확 몰려 있으면 그 위치의 밀도는 높거든요. 확률은 밀도가 아니라 그 아래 넓이고, 전체 넓이가 정확히 1이기만 하면 되니까요.
구간의 확률
X가 a와 b 사이에 들어갈 확률은 그 구간에서 f 아래 넓이예요.
한 점의 확률(예: P(X = 3))은 폭이 0인 구간이라 넓이도 0이에요. 그래서 연속확률에서는 \le와 <를 구분하지 않아도 돼요. 관심은 언제나 "구간"이에요.
기댓값(평균)
분포의 중심은 어디일까요? 값마다 그 밀도만큼 무게를 실어 평균 낸 것이 기댓값(expected value) 또는 평균 \mu예요.
밀도함수를 물체의 질량 분포로 보면, \mu는 그 물체가 균형을 이루는 무게중심이에요. 대칭인 분포라면 \mu는 정확히 가운데에 놓여요.
정규분포
자연과 데이터에서 가장 흔한 분포가 정규분포(normal distribution)예요. 좌우 대칭인 종 모양 곡선으로, 평균 \mu와 표준편차 \sigma(퍼진 정도)로 결정돼요. 밀도함수는 다음과 같아요.
중앙(\mu)에서 가장 높고 양쪽으로 갈수록 빠르게 낮아져요. 키·측정 오차·시험 점수처럼 "가운데가 많고 극단이 드문" 것들이 이 모양을 띠어요. 데이터사이언스에서 정규분포는 기본 가정이자 출발점이에요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
버스가 0분에서 10분 사이 아무 때나 똑같이 도착한다고 해요(균등분포). 이때 밀도함수는 구간에서 일정하고, 전체 넓이가 1이어야 하니 다음과 같아요.
확률: 3분에서 6분 사이에 올 확률은?
가로 3, 세로 \tfrac{1}{10}인 직사각형 넓이예요. 폭이 3이니 전체 10 중 30퍼센트죠.
평균: 기댓값을 구해 봐요.
예상대로 구간 한가운데인 5분이에요. 균등분포는 대칭이라 평균이 정확히 가운데에 놓여요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 확률밀도함수 f는 f(x) \ge 0이고 전체 넓이가 1이에요.
- 확률은 넓이: P(a \le X \le b) = \int_a^b f\,dx. 한 점의 확률은 0이에요.
- 기댓값(평균) \mu = \int x f\,dx는 분포의 무게중심이에요.
- 정규분포는 좌우 대칭 종 모양으로, 자연·데이터 어디에나 나와요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 15.4 이중적분으로 확장하면, 두 변수의 결합확률밀도 f(x, y)가 돼요. "밀도를 적분하면 확률"이라는 이 감각이 그대로 이어져요.