한눈에 보기
미분방정식 중에서 가장 다루기 좋은 종류가 1계 선형(linear) 방정식이에요. 표준형은 다음처럼 생겼어요.
여기서 y와 \frac{dy}{dx}가 1차로만 들어가고(y^2이나 y\frac{dy}{dx} 같은 게 없고), 계수 P, Q는 x만의 함수예요. 이런 방정식은 적분인자(integrating factor) I = e^{\int P\,dx}라는 마법의 곱셈수를 양변에 곱하면, 좌변이 통째로 (Iy)'라는 하나의 미분으로 접혀요. 그러면 양변을 적분만 하면 풀리죠.
- 표준형 \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)로 먼저 정리
- 적분인자 I = e^{\int P\,dx}를 곱하기
- 좌변 = (Iy)' → 적분해서 y 뽑기
먼저 알아야 할 것
개념 설명
적분인자 아이디어
핵심 질문은 이거예요. 좌변 \frac{dy}{dx} + P(x)y를 어떻게 하면 하나의 미분으로 만들 수 있을까요? 곱의 미분법을 떠올려 보세요. 어떤 함수 I(x)를 양변에 곱하면 좌변이 I\frac{dy}{dx} + IPy가 돼요. 이게 만약 (Iy)' = I\frac{dy}{dx} + I'y와 똑같아지려면, 두 번째 항끼리 맞아야 하니
이 조건을 만족하는 I만 찾으면 돼요. 그런데 I' = IP는 변수분리로 바로 풀려요 — \frac{dI}{I} = P\,dx를 적분하면 \ln I = \int P\,dx, 즉 I = e^{\int P\,dx}예요. 이게 바로 적분인자예요. 이 I를 곱하는 순간 좌변은 항상 (Iy)'로 접혀요.
접힌 뒤엔 적분만 남아요
I를 곱하면 방정식은 (Iy)' = IQ가 돼요. 양변을 x로 적분하면 Iy = \int IQ\,dx + C, 따라서
로 끝나요. 어려운 건 \int P\,dx와 \int IQ\,dx 두 적분을 계산하는 일뿐이고, 구조 자체는 늘 똑같아요. 적분상수 C가 붙으니 이건 일반해(general solution)이고, 초기조건이 주어지면 C를 특정해요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
\frac{dy}{dx} + \dfrac{y}{x} = x 를 풀어 봅시다(단, x > 0).
- 표준형 확인: 이미 \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) 꼴이에요. P(x) = \frac{1}{x}, Q(x) = x.
- 적분인자: \int P\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln x 이므로, I = e^{\ln x} = x 예요.
- 양변에 I = x 곱하기: x\frac{dy}{dx} + y = x^2. 좌변은 약속대로 (xy)' 예요(확인: (xy)' = x\frac{dy}{dx} + y, 딱 맞죠).
- 적분: (xy)' = x^2 이니 xy = \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C.
- y로 정리: y = \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{C}{x}.
이게 일반해예요. 만약 y(1) = 2 같은 초기조건이 있으면 2 = \frac{1}{3} + C 에서 C = \frac{5}{3} 로 딱 하나가 정해져요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 1계 선형은 \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) 표준형. y와 y'이 1차로만 들어가요.
- 적분인자 I = e^{\int P\,dx}를 양변에 곱하면 좌변이 (Iy)'로 접혀요.
- 그다음 Iy = \int IQ\,dx + C 를 적분해 y를 뽑아요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 이 해법은 공학의 미분방정식 곳곳에서 표준 도구로 쓰여요 — RL·RC 회로의 전류·전압, 물탱크 혼합 농도, 냉각·성장 모형이 전부 1계 선형이라 여기서 배운 절차 그대로 풀려요.