극좌표는 표현이 하나가 아니에요. 같은 점을 여러 방법으로 적을 수 있는데, 핵심 규칙 두 개만 기억하면 돼요.

• 한 바퀴 돌기: 각도에 2\pi 를 더하거나 빼도 같은 점이에요. (r, \theta) = (r, \theta + 2\pi).
• 반대편에서 보기: 반지름의 부호를 뒤집으면 방향이 반대가 되니, 각도를 \pi 만큼 돌려서 보정해요. (r, \theta) = (-r, \theta + \pi).

(a) (1, \frac{\pi}{4}) — 원점에서 거리 1, 각도 45^\circ 인 제1사분면의 점이에요.

• r > 0: 각도에 2\pi 를 더해서 (1, \frac{\pi}{4} + 2\pi) = (1, \frac{9\pi}{4}).
• r < 0: 부호를 뒤집고 각도에 \pi 를 더해서 (-1, \frac{\pi}{4} + \pi) = (-1, \frac{5\pi}{4}).

(b) (-2, \frac{3\pi}{2}) — r 이 음수라서 "각도 \frac{3\pi}{2} 방향의 반대쪽으로 거리 2" 예요. 반대쪽은 \frac{3\pi}{2} + \pi = \frac{5\pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2} 방향이니, 실제 위치는 양의 y 축 위 거리 2 인 점, 즉 직교좌표로 (0, 2) 예요.

• r > 0: 방금 찾은 방향 그대로 양수로 쓰면 (2, \frac{\pi}{2}).
• r < 0: 각도만 한 바퀴 빼서 (-2, \frac{3\pi}{2} - 2\pi) = (-2, -\frac{\pi}{2}).

(c) (3, -\frac{\pi}{3}) — 원점에서 거리 3, 각도 -60^\circ 인 제4사분면의 점이에요.

• r > 0: 각도에 2\pi 를 더해서 (3, -\frac{\pi}{3} + 2\pi) = (3, \frac{5\pi}{3}).
• r < 0: 부호를 뒤집고 각도에 \pi 를 더해서 (-3, -\frac{\pi}{3} + \pi) = (-3, \frac{2\pi}{3}).

검산. (c) 의 r < 0 표현 (-3, \frac{2\pi}{3}) 를 직교좌표로 바꿔 보면 x = -3\cos\frac{2\pi}{3} = -3 \cdot (-\frac12) = \frac32, y = -3\sin\frac{2\pi}{3} = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}. 원래 점 (3, -\frac{\pi}{3}) 도 x = 3\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac32, y = 3\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} 로 똑같으니 맞아요.

변환 공식은 딱 두 개예요.

(a) (2, \frac{3\pi}{2}):

따라서 (0, -2) 예요.

(b) (\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}): \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} 이므로

따라서 (1, 1) 예요.

(c) (-1, -\frac{\pi}{6}): \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac12 이므로

따라서 (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac12) 예요.

검산. (c) 를 다시 극좌표로 되돌리면 r = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac12)^2} = \sqrt{\frac34 + \frac14} = 1 이라 반지름 크기가 맞고, 점은 제2사분면(x<0, y>0)에 있어요. 원래 (-1, -\frac{\pi}{6}) 은 음수 r 때문에 방향이 반대로 뒤집혀 제2사분면이 되니 서로 일치해요.

직교 → 극 변환은 반지름과 각도를 따로 구해요.

이때 \theta 는 점이 실제로 놓인 사분면에 맞춰서 골라야 해요. 계산기의 \arctan 값만 믿으면 안 돼요.

(a) (\sqrt{3}, -1): r = \sqrt{3 + 1} = 2. 점은 x > 0, y < 0 이라 제4사분면이에요. \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\theta = -\frac12 를 만족하는 각은 \theta = -\frac{\pi}{6} \equiv \frac{11\pi}{6}.

• (i) r > 0: (2, \frac{11\pi}{6}).
• (ii) r < 0: 부호를 뒤집으면 각도를 \pi 만큼 옮겨야 하니 (-2, \frac{11\pi}{6} - \pi) = (-2, \frac{5\pi}{6}).

(b) (-6, 0): r = \sqrt{36 + 0} = 6. 점은 음의 x 축 위에 있으니 \theta = \pi.

• (i) r > 0: (6, \pi).
• (ii) r < 0: (-6, \pi - \pi) = (-6, 0). 실제로 (-6, 0) 은 "각도 0 방향의 반대쪽으로 거리 6" 이라 음의 x 축 위 점이 되어 맞아요.

검산. (a)-(ii) 의 (-2, \frac{5\pi}{6}) 를 직교로 바꾸면 x = -2\cos\frac{5\pi}{6} = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}, y = -2\sin\frac{5\pi}{6} = -2 \cdot \frac12 = -1 로 원래 점 (\sqrt{3}, -1) 과 똑같아요.

조건을 두 부분으로 나눠 읽으면 그림이 바로 보여요.

• 3 < r < 5: 원점에서의 거리가 3 보다 크고 5 보다 작은 점들. 즉 반지름 3 인 원과 반지름 5 인 원 사이의 고리(도넛) 안쪽이에요. 부등호가 등호 없는 < 라서 두 경계 원 자체는 포함하지 않아요(점선으로 그려요).
• \frac{2\pi}{3} \le \theta \le \frac{4\pi}{3}: 각도가 120^\circ 부터 240^\circ 까지. 이건 왼쪽을 향해 벌어진 부채꼴 방향이에요(180^\circ 를 한가운데 두고 위아래로 60^\circ 씩). 등호가 있으니 두 경계 반직선은 포함해요(실선).

두 조건을 겹치면, 왼쪽으로 열린 부채꼴 모양의 고리 조각이 돼요. 반지름 3 과 5 사이의 도넛에서, 각도 120^\circ \sim 240^\circ 부분만 잘라낸 영역이에요. 안쪽·바깥쪽 호는 점선, 양옆 직선 경계는 실선으로 표시하면 정확해요.

극좌표 두 점 사이 거리는 코사인 법칙을 그대로 쓰면 편해요. 두 점과 원점이 만드는 삼각형에서, 두 변의 길이가 r_1, r_2 이고 그 사이 낀 각이 \theta_1 - \theta_2 예요.

낀 각은 \frac{4\pi}{3} - \frac{5\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} 이고 \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac12 예요. 대입하면

검산. 두 점을 직교좌표로 바꿔서 거리 공식으로 확인해 봐요. (4, \frac{4\pi}{3}) \to (4\cos\frac{4\pi}{3},\, 4\sin\frac{4\pi}{3}) = (-2,\, -2\sqrt{3}), (6, \frac{5\pi}{3}) \to (6\cos\frac{5\pi}{3},\, 6\sin\frac{5\pi}{3}) = (3,\, -3\sqrt{3}). 차이는 \Delta x = 3 - (-2) = 5, \Delta y = -3\sqrt{3} - (-2\sqrt{3}) = -\sqrt{3} 이므로 d^2 = 5^2 + (\sqrt{3})^2 = 25 + 3 = 28. 똑같이 2\sqrt{7} 이에요.

극 → 직교로 넘어가는 표준 재료는 r^2 = x^2 + y^2 와 x = r\cos\theta 예요. 지금 식 오른쪽에 \cos\theta 가 있으니, 양변에 r 을 곱해서 r\cos\theta 를 만들어 주는 게 요령이에요.

이제 r^2 = x^2 + y^2, r\cos\theta = x 로 바꾸면

x 항을 왼쪽으로 넘기고 완전제곱을 만들어요.

중심이 (\frac52, 0), 반지름이 \frac52 인 원이에요. (원점을 지나는 원인데, x 축 위에 중심이 놓여 있어요.)

x = r\cos\theta 를 그대로 대입하면 끝이에요.

x = -1 은 세로 직선이니까, 극방정식은 r = -\sec\theta 예요.

이 식은 원점을 지나고 기울기가 \sqrt{3} 인 직선이에요. 극좌표에서 원점을 지나는 직선은 "각도가 일정하다" 로 아주 간단해져요.

x = r\cos\theta, y = r\sin\theta 를 대입하면

\tan\theta = \sqrt{3} 을 만족하는 각은 \theta = \frac{\pi}{3} 예요. 그래서 극방정식은

(r 이 음수인 경우까지 허용하면 이 한 식으로 직선 전체가 나와요.)

왼쪽 x^2 + y^2 는 r^2 이고, 오른쪽 y 는 r\sin\theta 예요. 바로 바꿔 봐요.

양변을 r 로 나누면(원점은 \theta 를 적당히 잡으면 어차피 곡선에 포함돼서 잃지 않아요)

참고로 이건 중심 (0, 2), 반지름 2 인 원이에요.

1단계 — r 대 \theta 그래프(보조 그래프). \theta 를 가로축, r 을 세로축에 두고 값을 표로 만들어요.

r 이 0 \to 1 \to 2 \to 1 \to 0 으로 커졌다 다시 작아지는 매끄러운 곡선이에요. 이 표를 보면서 극곡선을 읽어요.

2단계 — 극곡선으로 옮기기.

• \theta = 0: r = 0 → 원점. 여기가 뾰족한 첨점(cusp) 이 돼요.
• \theta = \frac{\pi}{2}: r = 1 → 위쪽으로 거리 1, 점 (0, 1).
• \theta = \pi: r = 2 → 왼쪽으로 가장 멀리, 점 (-2, 0).
• \theta = \frac{3\pi}{2}: r = 1 → 아래쪽 점 (0, -1).
• \theta = 2\pi: 다시 원점.

\cos(-\theta) = \cos\theta 라서 이 곡선은 x 축(극축)에 대칭이에요. 결과는 원점에서 뾰족하게 시작해 왼쪽으로 볼록하게 부푼 심장형(cardioid) 이고, 하트가 왼쪽을 향해 누운 모양이에요.

1단계 — r 대 \theta 그래프. r = \theta^2 은 아래로 볼록한 포물선이에요. \theta = 0 에서 r = 0 이고, \theta 가 0 에서 멀어질수록 r 이 빠르게(제곱으로) 커져요. \theta = 2\pi 이면 r = 4\pi^2 \approx 39.5 까지 커져요. 또 \theta 와 -\theta 에서 값이 같아요(r 이 짝함수).

2단계 — 극곡선으로 옮기기. r \ge 0 이라 곡선은 늘 각도 방향 그대로 뻗어요.

• \theta 가 0 \to 2\pi (양수): 원점에서 출발해 각도가 커질수록 반지름이 점점 커지는 반시계 방향 나선을 그려요. 한 바퀴 돌 때마다 바깥으로 크게 벌어져요.
• \theta 가 0 \to -2\pi (음수): 반지름은 같은 값들인데 각도가 음수라 시계 방향 나선을 그려요.

r(\theta) = r(-\theta) 라서 두 나선은 x 축에 대칭이에요. 그래서 원점에서 두 팔이 벌어져 나오는, x 축 대칭의 이중 나선 모양이 돼요.

1단계 — r 대 \theta 그래프.

여기서 중요한 건 r 이 음수가 되는 구간이 있다는 점이에요. r = 0 이 되는 각을 찾으면

이 두 각 사이(\theta 가 대략 109.5^\circ \sim 250.5^\circ)에서는 r < 0 이에요.

2단계 — 극곡선으로 옮기기. 이 곡선은 a = 1, b = 3 인 리마송(limaçon) 이고, \vert b \vert > \vert a \vert 라서 안쪽 고리(inner loop) 가 생기는 종류예요.

• \theta = 0 에서 r = 4 → 오른쪽으로 가장 멀리 (4, 0). 여기서 시작해 큰 바깥 고리를 그려요.
• r 이 음수인 구간에서는 점이 각도의 반대편에 찍혀서, 큰 고리 안쪽에 작은 고리가 하나 더 만들어져요.
• \cos(-\theta) = \cos\theta 이므로 전체가 x 축에 대칭이에요.

결과는 오른쪽으로 크게 부푼 바깥 고리 안에 작은 고리가 들어앉은, 안쪽 고리를 가진 리마송이에요.

1단계 — 주기 확인. \sin\frac{\theta}{2} 는 안쪽이 \frac{\theta}{2} 라서 주기가 보통 사인의 두 배인 4\pi 예요. 따라서 곡선 전체를 얻으려면 \theta 를 0 부터 4\pi 까지 돌려야 해요.

2단계 — r 대 \theta 그래프.

r 이 0 \to 1 \to 0 \to -1 \to 0 으로 움직여요. 뒤쪽 절반에서 r 이 음수가 되는 게 포인트예요.

3단계 — 극곡선으로 옮기기. 몇 개 점을 직교좌표로 찍어 보면 모양이 잡혀요.

• \theta = \pi: r = 1, 각도 \pi → 점 (-1, 0). (0 \le \theta \le 2\pi 구간에서 왼쪽에 고리 하나가 그려져요.)
• \theta = 3\pi: r = -1, 각도 3\pi \equiv \pi 인데 r 이 음수라 반대편으로 → 점 (1, 0). (2\pi \le \theta \le 4\pi 구간에서 오른쪽에 고리 하나가 그려져요.)

두 고리는 y 축을 기준으로 각각 왼쪽/오른쪽으로 치우친 채 서로 크게 겹쳐요. 둘 다 원점을 지나는 것은 물론, y 축 위의 \left(0, \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right) 에서도 서로 교차해요. 장미 곡선처럼 원점에서만 닿는 꽃잎 모양이 아니라, 두 고리가 포개진 모양이에요.

이런 짝짓기 문제는 곡선의 종류를 알려주는 신호만 챙기면 돼요. 신호는 크게 네 가지예요. ① 장미(rose): \cos n\theta 꼴, 꽃잎 수는 n 이 홀수면 n 개, 짝수면 2n 개. ② 나선(spiral): r 이 각도에 따라 계속 커지는 꼴. ③ 직선: r = \sec\theta 처럼 r\cos\theta = 상수 가 되는 꼴. ④ 리마송류: 2 + \cos(\cdots) 처럼 r 이 항상 양수라 원점을 지나지 않는 부푼 곡선.

(a) r = \cos 3\theta → IV. n = 3(홀수)인 장미라서 꽃잎이 정확히 3개예요. 최대 반지름은 1 이고 세 잎이 원점에서 만나요. 세 잎짜리 장미 그림이 IV 예요.

(h) r = 2 + \cos 3\theta → II. (a) 와 똑같은 3\theta 의 3중 대칭이지만, r 이 항상 1 \le r \le 3 으로 양수라 원점을 지나지 않아요. 그래서 꽃잎이 아니라, 세 군데가 볼록한 둥근 삼각형 같은 닫힌 곡선이에요. 이게 II 예요. (a) 와 헷갈리기 쉬운데 "원점을 지나느냐"로 갈라요.

(f) r = \sec\theta → VIII. r = \sec\theta 는 r\cos\theta = 1, 즉 x = 1 인 세로 직선이에요. 좌표축과 함께 그리면 세로선처럼 보이는 VIII 이 이거예요.

(e) r = \sec\frac{\theta}{3} → VII. 역시 \sec 이라 분모 \cos\frac{\theta}{3} 가 0 이 되는 곳에서 r \to \infty 로 발산해요. 그래서 직선처럼 딱 떨어지지 않고 점근선을 향해 벌어지는 열린 곡선이 돼요. 이런 갈라진 모양이 VII 예요.

(g) r = \theta^2 → IX. r 이 \theta 의 제곱으로 아주 빠르게 커지는 나선이에요. 0 \le \theta \le 8\pi 면 4 바퀴를 도는데, 바깥으로 갈수록 간격이 급격히 넓어지는 큰 나선이라 IX 예요.

(b) r = \ln\theta → III. 이것도 나선인데, \ln\theta 는 아주 천천히 커져요(\theta = 6\pi 여도 r \approx 2.9). 그래서 (g) 보다 훨씬 촘촘하고 얌전한 나선이라 III 예요. 두 나선은 "얼마나 빨리 벌어지느냐"로 구분해요.

(c) r = \cos\frac{\theta}{2} → V. 안쪽이 \frac{\theta}{2} 라 주기가 4\pi 예요. r 이 양수·음수를 오가며 원점을 지나는 고리 2개짜리 닫힌 곡선을 만들어요. V 예요.

(d) r = \cos\frac{\theta}{3} → I. 주기가 6\pi 로 더 길어서, (c) 보다 고리가 더 많이 겹친 복잡한 닫힌 곡선이 돼요. 여러 고리가 얽힌 I 이 이거예요.

(i) r = 2 + \cos\frac{3\theta}{2} → VI. 남은 하나예요. r 이 1 \le r \le 3 으로 항상 양수(원점 안 지남)지만 주기가 4\pi 라, (h) 보다 요철이 더 복잡한 부푼 곡선이에요. VI 에 해당해요.

정리하면 (a)–IV, (b)–III, (c)–V, (d)–I, (e)–VII, (f)–VIII, (g)–IX, (h)–II, (i)–VI 예요.