어떤 함수가 a 를 중심으로 하는 거듭제곱급수로 표현되면, 그 급수는 반드시 f 의 테일러 급수와 같아요. 이것이 이 절의 핵심 정리예요. 즉 x - 5 의 거듭제곱으로 쓰인 급수라면 중심은 a = 5 이고, 계수는 테일러 계수 공식을 따라요.

여기에 n = 8 을 넣으면 돼요.

최종답. b_8 = \dfrac{f^{(8)}(5)}{8!}

a = 4 를 중심으로 하는 테일러 급수의 정의는 다음과 같아요.

주어진 f^{(n)}(4) 를 대입하면, 분자의 n! 과 분모의 n! 이 약분돼요.

수렴반지름. 비율판정법을 써요. 항을 a_n = \dfrac{(-1)^n}{3^n(n+1)}(x-4)^n 이라 하면,

이 극한이 1 보다 작을 때 수렴하므로 \frac{1}{3}\vert x-4\vert < 1, 즉 \vert x-4\vert < 3 이에요.

최종답. 테일러 급수는 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n (n+1)} (x-4)^n, 수렴반지름 R = 3

f(x) = x^{1/3} 의 도함수들을 차례로 구하고 x = 8 을 대입해요. 계산에 8^{1/3} = 2 라는 사실을 계속 써요.

여기서 8^{-2/3} = \frac{1}{(8^{1/3})^2} = \frac{1}{4}, 8^{-5/3} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}, 8^{-8/3} = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256} 을 썼어요.

이제 테일러 급수 공식 f(8) + f'(8)(x-8) + \frac{f''(8)}{2!}(x-8)^2 + \frac{f'''(8)}{3!}(x-8)^3 + \cdots 에 대입해요.

계수 정리는 \frac{-1/144}{2} = -\frac{1}{288}, \frac{5/3456}{6} = \frac{5}{20736} 로 확인돼요.

최종답. 2 + \dfrac{1}{12}(x-8) - \dfrac{1}{288}(x-8)^2 + \dfrac{5}{20736}(x-8)^3

f(x) = \ln x 의 도함수들을 구하고 x = 1 을 대입해요.

f(1) = 0 이므로 상수항은 사라지고, 나머지를 테일러 공식에 넣어요.

계수를 정리하면 \frac{-1}{2} , \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4} 이에요.

최종답. (x-1) - \dfrac{1}{2}(x-1)^2 + \dfrac{1}{3}(x-1)^3 - \dfrac{1}{4}(x-1)^4

a = 0 에서의 도함수들을 구해서 규칙을 찾아요.

여기서 (1-x)^{-2} 를 미분하면 -2(1-x)^{-3} \cdot (-1) = 2(1-x)^{-3} 처럼 안쪽 미분 -1 이 음의 지수와 곱해져 항상 양수가 돼요. 규칙을 일반화하면

이에요. 이제 매클로린 급수에 대입하면 n! 이 약분돼요.

즉 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots 이에요.

수렴반지름. 비율판정법으로 \left\vert \frac{(n+2)x^{n+1}}{(n+1)x^n} \right\vert = \frac{n+2}{n+1}\vert x\vert \to \vert x\vert 이므로 \vert x\vert < 1 에서 수렴해요. R = 1 이에요.

최종답. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots, 수렴반지름 R = 1

다항식이므로 결국 자기 자신이 나오리라 예상되지만, 정의대로 도함수를 계산해 확인해요.

5 계 이상의 도함수는 모두 0 이에요. 매클로린 공식에 넣으면

\frac{-6}{2} = -3, \frac{48}{24} = 2 이므로 원래 다항식과 정확히 일치해요. 다항식의 매클로린 급수는 항상 자기 자신이에요.

최종답. 2x^4 - 3x^2 + 3 (수렴반지름 R = \infty)

\sin x 의 도함수는 네 개씩 주기적으로 반복돼요. x = \pi 를 대입해요.

이후 같은 값들이 반복돼요. 짝수 계 도함수는 \pi 에서 0 이므로 홀수 차수 항만 남아요.

검산. \sin x = \sin\bigl(\pi + (x-\pi)\bigr) = -\sin(x-\pi) 이고, \sin(x-\pi) 의 급수에 마이너스를 붙이면 위와 정확히 같아져요.

최종답. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}(x-\pi)^{2n+1}

정리 8과 테일러 부등식(정리 9)을 써요. \sin x 의 모든 계 도함수는 \pm\sin x 또는 \pm\cos x 이므로 모든 x 에서

이에요. 따라서 테일러 부등식에서 M = 1, a = \pi 로 두면 나머지항 R_n(x) 가 다음을 만족해요.

이 절의 식 10에 따르면 모든 실수 t 에 대해 \lim_{n\to\infty} \frac{t^n}{n!} = 0 이므로,

이에요. 조임정리에 의해 \lim_{n\to\infty} \vert R_n(x)\vert = 0, 즉 \lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0 이에요. 정리 8에 의해 모든 x 에서 \sin x 는 자신의 테일러 급수와 같아요. 증명 끝.

표 1의 코사인 급수에서 출발해요.

여기에 u = \tfrac{1}{2}x^2 를 대입하면, u^{2n} = \left(\tfrac{x^2}{2}\right)^{2n} = \dfrac{x^{4n}}{2^{2n}} 이에요.

이 급수 전체에 x 를 곱해요.

처음 몇 항을 써 보면 n=0 은 x, n=1 은 -\frac{x^5}{4 \cdot 2} = -\frac{x^5}{8}, n=2 는 \frac{x^9}{16 \cdot 24} = \frac{x^9}{384} 이에요.

최종답. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+1}}{4^n (2n)!} = x - \frac{x^5}{8} + \frac{x^9}{384} - \cdots (모든 x)

표 1의 코사인 급수에서 상수항 1 을 빼요.

이것을 x 로 나누면 각 항의 차수가 1 씩 내려가요.

이제 항별로 적분해요. x^{2n-1} 을 적분하면 \dfrac{x^{2n}}{2n} 이에요.

분모를 정리하면 2 \cdot 2! = 4, 4 \cdot 4! = 96 이에요.

최종답. C - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{96} - \dfrac{x^6}{4320} + \cdots = C + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{2n\,(2n)!}

표 1의 사인 급수 \sin u = u - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^5}{5!} - \cdots 에 u = x^4 을 넣어요.

0 부터 1 까지 항별로 적분해요. \int_0^1 x^m\, dx = \frac{1}{m+1} 이에요.

각 값을 소수로 바꿔요.

교대급수이므로 오차는 첫 버리는 항보다 작아요. 넷째 자리 정확도(오차 < 0.00005)를 위해서는 네 번째 항 0.0000068 까지 더하면 충분해요.

최종답. \displaystyle\int_0^1 \sin(x^4)\, dx \approx 0.1876

표 1의 지수함수 급수 e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!} 과 모양을 비교해요. x = -1 을 넣으면 x^n = (-1)^n 이 되므로 딱 우리 급수예요.

최종답. e^{-1} = \dfrac{1}{e}

일반항을 시그마로 정리하면 부호가 번갈아 바뀌므로 (-\ln 2)^n 꼴이에요.

이것은 e^x = \sum \dfrac{x^n}{n!} 에 x = -\ln 2 를 넣은 것과 같아요.

최종답. \dfrac{1}{2}

등비급수 \dfrac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n 에 t = -x^2 을 넣어요.

여기에 x 를 곱하면 f 의 매클로린 급수가 나와요.

한편 매클로린 급수의 정의에서 x^{101} 의 계수는 \dfrac{f^{(101)}(0)}{101!} 이에요. 급수에서 x^{101} 이 나오려면 2n+1 = 101, 즉 n = 50 이므로 그 계수는 (-1)^{50} = 1 이에요. 두 표현을 같다고 놓으면

이에요.

최종답. f^{(101)}(0) = 101!

핵심은 0 에서의 모든 계 도함수가 0 이라는 점이에요. 먼저 f'(0) 을 정의로 계산해요.

y = 1/x 로 치환하면 x \to 0 일 때 \vert y\vert \to \infty 이고, 이 극한은 \lim_{y \to \infty} y\, e^{-y^2} 꼴이 돼요. 지수함수 e^{-y^2} 이 어떤 다항식보다도 빨리 0 으로 가므로 이 극한은 0 이에요. 따라서 f'(0) = 0 이에요.

일반적으로 x \ne 0 에서 도함수는 f^{(n)}(x) = P\!\left(\tfrac{1}{x}\right) e^{-1/x^2} 처럼 1/x 의 다항식과 e^{-1/x^2} 의 곱 꼴이에요. 같은 이유로 x \to 0 일 때 이 값은 0 으로 가고, 귀납적으로 모든 n 에 대해

이 성립해요. 그러면 f 의 매클로린 급수는

즉 항등적으로 0 인 함수예요. 그런데 x \ne 0 일 때 f(x) = e^{-1/x^2} > 0 이에요. 예를 들어 f(1) = e^{-1} \ne 0 이에요. 따라서 f 는 x = 0 을 제외한 모든 곳에서 자신의 매클로린 급수와 다르므로, f 는 자신의 매클로린 급수와 같지 않아요. 증명 끝.