한눈에 보기
15.1에서는 적분 영역이 반듯한 직사각형이었어요. 하지만 현실의 영역은 삼각형, 원 조각, 곡선으로 둘러싸인 모양처럼 제멋대로예요. 이 절은 그런 일반 영역(general region) 위에서 이중적분을 어떻게 하는지 다뤄요. 핵심은 영역을 두 종류로 나눠 보는 거예요.
- Type I: 위아래가 함수인 영역 — a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)
- Type II: 좌우가 함수인 영역 — c \le y \le d,\ h_1(y) \le x \le h_2(y)
- 안쪽 적분의 한계가 상수가 아니라 함수가 되는 게 새로운 점이에요.
먼저 알아야 할 것
개념 설명
Type I — 위아래가 함수
x를 a에서 b까지 훑는 동안, 각 x마다 y가 아래 곡선 g_1(x)부터 위 곡선 g_2(x)까지 채워지는 영역이에요. 세로 막대를 하나 세운다고 상상하면, 그 막대가 바닥 g_1(x)에서 천장 g_2(x)까지 뻗죠. 그래서 안쪽 적분을 y로 먼저 하고, 그 한계가 x의 함수예요. 삼각형이나 포물선 아래 영역이 대표적이에요.
Type II — 좌우가 함수
반대로 y를 c에서 d까지 훑는 동안, 각 y마다 x가 왼쪽 곡선 h_1(y)부터 오른쪽 곡선 h_2(y)까지 채워지는 영역이에요. 이번엔 가로 막대를 눕혀 보면, 왼쪽 벽 h_1(y)에서 오른쪽 벽 h_2(y)까지 뻗죠. 안쪽 적분을 x로 먼저 하고, 그 한계가 y의 함수예요.
같은 영역이 Type I로도, Type II로도 보일 때가 많아요. 그때는 계산이 쉬운 쪽을 고르면 돼요. 어느 쪽이든 답은 같아야 하고요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
포물선 y = x^2과 직선 y = x로 둘러싸인 영역 D 위에서 \iint_D (x + 2y)\,dA를 구해 봅시다.
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영역 그리기: 두 곡선의 교점은 x^2 = x, 즉 x = 0과 x = 1이에요. 0 \le x \le 1 구간에서는 직선 y = x가 포물선 y = x^2보다 위에 있어요(예: x = 0.5에서 0.5 > 0.25).
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Type I로 한계 잡기: 0 \le x \le 1이고, y는 아래 곡선 y = x^2부터 위 곡선 y = x까지, 즉 x^2 \le y \le x예요. 그러면
- 안쪽 적분(y로): x를 상수로 두고 적분하면 xy + y^2이에요. y = x^2부터 y = x까지 대입하면
- 바깥 적분(x로):
안쪽에서 함수 한계를 대입해 x만의 식으로 바꾼 뒤 바깥을 적분하는 흐름을 기억하세요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 일반 영역은 Type I(위아래가 함수, y 먼저)와 Type II(좌우가 함수, x 먼저)로 나눠 봐요.
- 이중적분은 안쪽 적분의 한계가 상수가 아니라 함수가 될 수 있어요. 단, 바깥 한계는 항상 상수예요.
- 절차: 영역 그리기 → 교점으로 바깥 한계 → 위/아래(또는 좌/우) 곡선으로 안쪽 한계 → 안쪽부터 적분.
- 같은 영역을 두 방식으로 볼 수 있으면 쉬운 쪽을 고르되, 순서를 바꾸면 한계를 다시 잡아요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 원이나 부채꼴처럼 곡선 경계가 원형이면 15.3 극좌표 이중적분이 훨씬 깔끔해요.