한눈에 보기
15.2에서 이중적분은 "영역을 잘게 나눠 값을 다 더하기"였어요. 그런데 영역이 원판·고리·부채꼴처럼 둥글면, x, y 좌표로 한계를 잡기가 아주 번거로워요(원의 경계가 y = \pm\sqrt{r^2 - x^2} 같은 루트로 나오죠). 이럴 땐 좌표계를 바꿔요 — 점을 "원점에서의 거리 r"과 "각도 \theta"로 나타내는 극좌표(polar coordinates)로요.
- 둥근 영역은 극좌표 (r, \theta)로 한계를 잡으면 훨씬 깔끔
- 핵심 공식: 넓이요소가 dA = r\,dr\,d\theta — r이 붙어요
- x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta로 함수도 바꿔요
먼저 알아야 할 것
개념 설명
왜 r이 붙나 — 넓이요소
극좌표로 영역을 나눌 땐 격자를 "r 방향 선"과 "\theta 방향 원호"로 잘라요. 이렇게 자른 한 조각은 사각형이 아니라 부채꼴 조각이에요.
이 조각의 크기를 봅시다. r이 아주 조금(dr) 늘고 각도가 아주 조금(d\theta) 벌어진 작은 타일이에요. 안쪽으로 향한 변의 길이는 dr이고, 옆으로(호 방향) 향한 변의 길이는 반지름 \times 각도 = r\,d\theta예요. 호의 길이는 반지름에 비례하니까요. 그래서 이 작은 타일의 넓이는
가 돼요. 즉 바깥쪽(r이 큰 곳)의 타일이 안쪽보다 넓어요 — 같은 각도라도 멀수록 호가 길어지니까요. 이 "멀수록 넓다"를 보정하는 게 바로 r이에요. 이 r을 빠뜨리면 "멀수록 타일이 넓다"는 차이를 무시하고 모든 타일을 같은 크기로 세는 셈이라, 안쪽·바깥쪽의 비중이 다 어긋나서 답이 완전히 틀려요. (참고로 이 r은 좌표를 바꿀 때 나오는 야코비안이라는 보정계수인데, 일반적인 규칙은 15.9에서 다뤄요. 여기선 "r이 붙는다"만 확실히 기억하면 돼요.)
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
반지름 1인 원판의 넓이가 \pi임을 극좌표로 확인해 봅시다. 넓이는 그 영역 위에서 1을 적분한 값, 즉 \iint_R 1\,dA예요.
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영역의 한계: 원점 중심 반지름 1인 원판이니, 거리는 0 \le r \le 1, 각도는 한 바퀴 다 도니 0 \le \theta \le 2\pi예요. 둥근 영역이 상수 한계 넷으로 깔끔하게 잡히죠.
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적분 세우기: f = 1이고 dA = r\,dr\,d\theta이니
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안쪽(r) 먼저: \int_{0}^{1} r\,dr = \left[\dfrac{r^2}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}.
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바깥쪽(\theta): \int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{2}\,d\theta = \dfrac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
넓이가 \pi로, 아는 공식 \pi r^2 = \pi \cdot 1^2과 딱 맞아요. 만약 3단계에서 r을 빠뜨리고 \int_0^1 1\,dr = 1로 계산했다면 답이 2\pi가 나와요 — 실제의 두 배죠. 이게 r을 넣어야 하는 이유예요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 둥근 영역(원판·고리·부채꼴)은 극좌표 (r, \theta)로 한계를 잡으면 훨씬 쉬워요.
- 함수 속 x, y를 r\cos\theta,\ r\sin\theta로 바꾸고, 넓이요소는 dA = r\,dr\,d\theta — r이 반드시 붙어요("멀수록 타일이 넓다"의 보정).
- 한계는 r의 범위(안쪽·바깥쪽 반지름)와 \theta의 범위(부채꼴 각도)로 잡아요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 여기서 r이 왜 붙는지를 일반화한 게 15.9의 변수변환과 야코비안이에요. 어떤 좌표로 바꾸든 그 좌표에 맞는 보정계수가 붙는다는 이야기죠.