한눈에 보기
곡선의 길이는 이미 배웠죠 — 잘게 쪼갠 직선 조각을 이어 붙이는 아이디어였어요. 곡면의 넓이(surface area)도 똑같은 발상이에요. 곡면 z = f(x, y)를 잘게 쪼개면 조각 하나하나는 거의 평평한 접평면 조각이 돼요. 그 작은 조각들의 넓이를 다 더한 게 곡면 전체의 넓이예요. 결과는 깔끔한 하나의 공식이에요.
- 곡면 z = f(x, y)의 넓이 = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA
- 유도의 핵심은 "작은 접평면 조각"으로 근사하기
- 평평한 곡면(f_x = f_y = 0)이면 그냥 영역 D의 넓이
먼저 알아야 할 것
개념 설명
접평면 조각으로 유도
곡면 z = f(x, y)를 정의역 D 위에서 봅시다. D를 잘게 나눠 작은 직사각형 하나를 잡으면, 가로 \Delta x, 세로 \Delta y인 밑넓이 \Delta A = \Delta x\,\Delta y짜리 조각이 돼요. 이 조각 위에 얹힌 곡면 부분은, 조각이 충분히 작으면 거의 평면이라 볼 수 있어요 — 바로 그 점에서의 접평면이죠.
이제 그 밑 직사각형의 두 변을 따라 접평면 위로 올라가는 두 벡터를 생각해요. x방향으로 \Delta x만큼 가면 높이는 f_x\,\Delta x만큼 변하니 벡터는 \mathbf{a} = (\Delta x,\ 0,\ f_x\,\Delta x), y방향으로는 \mathbf{b} = (0,\ \Delta y,\ f_y\,\Delta y)예요. 이 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이가 접평면 조각의 넓이고, 그건 외적의 크기 \vert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \vert로 구해요.
외적을 계산하면 \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-f_x,\ -f_y,\ 1)\,\Delta x\,\Delta y가 나와요. 그 크기는
예요. 다시 말해 밑넓이 \Delta A짜리 조각 하나가 실제 곡면에서는 \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}배로 늘어난 넓이를 가져요. 이 조각들을 D 전체에서 다 더하고(극한을 취하면) 이중적분이 돼요.
1변수 곡선 길이와 대비
1변수에서 곡선 길이는 \int \sqrt{1 + (f')^2}\,dx였죠 — 루트 안에 기울기 제곱을 하나 더했어요. 이번엔 입력이 둘이라 기울기도 둘(f_x, f_y)이고, 둘 다 제곱해서 더해요. 길이 공식에 y방향 기울기 항 하나가 늘어난 자연스러운 확장이에요. "평평하면 그대로, 기울수록 커진다"는 정신은 똑같아요.
수식 하나하나 뜯어보기
여기서 루트 안의 1이 핵심이에요. 평평한 바닥(f_x = f_y = 0)이면 루트가 \sqrt{1} = 1이 돼서 A(S) = \iint_D dA, 즉 그냥 영역 D의 넓이가 돼요. 기울면 기울수록 루트 안의 제곱 항이 커지고 넓이도 커지죠.
손으로 따라가는 예제
평면 z = 2x + 3y가 영역 D 위에서 이루는 넓이를 구해봅시다. D는 넓이가 10인 어떤 영역이라고 해요.
- 편도함수: f_x = 2, f_y = 3이에요. 평면이라 어디서나 기울기가 일정하죠.
- 배율: \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}. 이 값이 D 전체에서 상수예요.
- 넓이:
밑에 깔린 영역은 넓이 10인데, 평면이 기울어 있어서 실제 조각은 \sqrt{14}배 늘어난 10\sqrt{14} \approx 37.4가 돼요. "기운 평면의 넓이 = 밑넓이 × 배율"이 그대로 보이죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 곡면 z = f(x, y)의 넓이 = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA.
- 유도의 뿌리는 "작은 접평면 조각"이고, 루트는 조각이 늘어나는 배율이에요.
- 평평하면(f_x = f_y = 0) 루트가 1이 되어 그냥 영역 D의 넓이가 돼요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 16.6에서 곡면을 (u, v)로 표현한 매개곡면(parametric surface)의 넓이를 배워요. 이번 공식은 그 특수한 경우(x, y 자체를 매개변수로 쓴 경우)예요.