한눈에 보기
적분을 계산하다 보면 "이 좌표계에선 너무 복잡한데, 다른 좌표로 바꾸면 쉬워질 텐데" 싶을 때가 많아요. 15.3에서 극좌표로 바꿨던 게 딱 그거였죠. 15.9는 이걸 일반화해요. x, y를 새 변수 u, v로 바꾸는 어떤 좌표변환이든, 적분을 새 변수로 다시 쓸 때 넓이 조각 dA가 얼마나 늘거나 줄어드는지를 야코비안(Jacobian) 하나로 정리해요.
- 일반 좌표변환 x = x(u, v),\ y = y(u, v)
- 야코비안 — 변환이 넓이를 확대·축소하는 비율(2×2 행렬식)
- 핵심 공식 dA = \vert J \vert\, du\, dv
- 극좌표의 r이 사실은 야코비안이었다는 정체
먼저 알아야 할 것
개념 설명
왜 넓이가 변하나
u, v평면에서 작은 사각형 하나를 생각해 봐요. 가로 du, 세로 dv짜리 조각이에요. 이걸 변환 x = x(u, v),\ y = y(u, v)로 xy평면에 옮기면, 반듯한 사각형이 아니라 살짝 찌그러진 평행사변형이 돼요. 변환이 공간을 늘이거나 비틀기 때문이에요.
여기서 핵심은, 원래 사각형의 넓이 du\, dv와 옮겨진 평행사변형의 넓이가 다르다는 점이에요. 적분은 결국 "넓이 조각 × 함숫값"을 다 더하는 거라, 조각의 넓이가 바뀌면 그 배율을 반드시 곱해줘야 값이 안 틀려요. 그 배율이 바로 야코비안 절댓값이에요.
왜 편미분이 나올까요? 변환된 평행사변형의 두 변은 각각 "u가 조금 변할 때 점이 움직이는 방향"과 "v가 조금 변할 때 움직이는 방향"이에요. 앞엣것은 벡터 (x_u, y_u), 뒤엣것은 (x_v, y_v)죠. 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이는 그 성분으로 만든 행렬식의 절댓값이에요(12.4에서 본 그 성질). 그래서 편미분 네 개로 만든 행렬식이 넓이 배율이 돼요.
야코비안
이 넓이 배율에 이름을 붙인 게 야코비안이에요. x, y를 각각 u, v로 편미분한 값 네 개를 2×2로 배열하고, 그 행렬식을 취해요. 기호로는 \partial(x, y) / \partial(u, v)라고 써요 — "u, v에 대한 x, y의 야코비안"이라고 읽어요.
야코비안이 2면 넓이가 2배로 늘고, \tfrac12이면 절반으로 줄어요. 값이 음수로 나올 수도 있는데, 이건 변환이 방향(뒤집힘)을 바꿨다는 뜻이에요. 넓이는 음수일 수 없으니 적분에는 절댓값을 써요. 3변수(삼중적분)로 가면 x, y, z를 u, v, w로 편미분한 3×3 행렬식이 부피 배율이 돼요 — 원리는 완전히 똑같아요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
극좌표 변환의 야코비안이 정말 r인지 직접 확인해 봐요. 여기서 새 변수는 u = r,\ v = \theta이고, 변환은 x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta예요.
- 편미분 네 개를 구해요.
- 야코비안 행렬식을 세워요.
- 정리하면
야코비안이 정확히 r로 나왔어요. 그래서 공식에 넣으면 dA = \vert J \vert\, dr\, d\theta = r\, dr\, d\theta가 되죠. 15.3에서 아무 설명 없이 붙어 있던 그 r이, 알고 보니 극좌표 변환이 넓이를 늘리는 배율이었어요. 원점에서 멀수록(r이 클수록) 같은 dr\, d\theta 조각이 더 넓어지는 게 눈에 보이죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 좌표를 x, y에서 u, v로 바꾸면 넓이 조각이 늘거나 줄고, 그 배율이 야코비안이에요.
- 야코비안은 편미분 네 개로 만든 2×2 행렬식 J = x_u y_v - x_v y_u이고, 적분엔 절댓값 \vert J \vert를 써요.
- 핵심 공식은 dA = \vert J \vert\, du\, dv. 극좌표에선 J = r이라 dA = r\, dr\, d\theta가 됐던 거예요.
- 삼중적분은 3×3 야코비안으로 부피 배율을 구해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 이걸로 15장(다중적분)이 끝나요. 16장 벡터 미적분에서는 곡선·곡면 위의 적분으로 넘어가고, 좌표변환의 감각은 확률의 변수변환과 정규화 흐름에서 다시 만나요.