한눈에 보기
함수가 함수 안에 들어 있을 때 어떻게 미분할까요? 예를 들어 (x^2 + 1)^5은 "다섯제곱"이라는 함수 안에 "x^2 + 1"이라는 함수가 들어 있어요. 이렇게 겹쳐 있는 걸 합성함수(composite function)라고 하고, 이걸 미분하는 규칙이 연쇄법칙(Chain Rule)이에요.
- 합성함수 미분 = 겉함수 미분 × 속함수 미분
- \dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
- 라이프니츠 표기로는 \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}
먼저 알아야 할 것
개념 설명
겉미분 × 속미분
(x^2 + 1)^5을 미분한다고 해봐요. 그냥 5(x^2+1)^4이라고 하면 틀려요. 안에 있는 x^2 + 1이 x에 따라 변하는 걸 빠뜨렸거든요.
이 식을 두 겹으로 나눠 볼게요.
- 겉함수: 뭔가를 다섯제곱하는 함수 f(u) = u^5
- 속함수: 그 "뭔가"인 u = g(x) = x^2 + 1
연쇄법칙은 이렇게 말해요: 겉함수를 (속을 그대로 둔 채) 미분하고, 거기에 속함수의 미분을 곱하라.
겉을 미분하면 5u^4 = 5(x^2+1)^4, 속 x^2+1을 미분하면 2x. 이 둘을 곱한 10x(x^2+1)^4이 정답이에요.
왜 곱할까 — 변화율의 사슬
라이프니츠 표기로 보면 곱하는 이유가 자연스러워요. y = f(u)이고 u = g(x)일 때,
"x가 조금 변하면 → u가 얼마나 변하고 → 그 u 변화가 y를 얼마나 바꾸는지"를 이어 붙인 거예요. 마치 기어가 물려 돌아가듯이 변화율이 사슬(chain)처럼 전달돼요. \dfrac{du}{du}가 약분되는 것처럼 보이는 게 우연이 아니라, 이 사슬 구조가 핵심이에요.
수식 하나하나 뜯어보기
핵심은 f'(g(x))에서 속함수를 미분하지 않고 그대로 껴 넣는다는 점이에요. 5(x^2+1)^4처럼 안쪽 x^2+1은 손대지 않고 유지한 채, 속미분 2x는 따로 곱해요.
손으로 따라가는 예제
예제 1: \dfrac{d}{dx}\sin(3x)
- 겉함수 f(u) = \sin u, 속함수 u = 3x
- 겉미분: \cos u = \cos(3x) (속은 그대로)
- 속미분: \dfrac{d}{dx}(3x) = 3
- 곱하면:
예제 2: \dfrac{d}{dx}(x^2+1)^5 (위에서 본 것 다시)
- 겉미분 5(x^2+1)^4, 속미분 2x
- 곱하면 10x(x^2+1)^4
예제 3 — 세 겹: \dfrac{d}{dx}\sin^2(3x) = \dfrac{d}{dx}[\sin(3x)]^2
겹이 셋이면 사슬을 한 칸씩 늘려요. 바깥(제곱)부터 안쪽(3배)까지 차례로 미분해 곱해요.
바깥 제곱 → 2\sin(3x), 가운데 사인 → \cos(3x), 안쪽 3x → 3. 겹이 늘어도 "겉에서 안으로 하나씩 미분해 곱한다"는 원리는 똑같아요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 합성함수는 겉미분 × 속미분으로 미분해요: \dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x).
- 겉을 미분할 때 속은 그대로 껴 넣고, 속미분을 따로 곱해요.
- 라이프니츠 표기 \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}는 변화율이 사슬처럼 전달되는 걸 보여줘요.
- 겹이 여러 개면 겉에서 안으로 하나씩 미분해 전부 곱해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 2.6 음함수 미분은 y가 숨어 있는 식에 연쇄법칙을 쓰는 거예요. 그리고 14.5의 다변수 연쇄법칙이 여러 입력으로 확장된 형태이자, 딥러닝 역전파의 정체예요.