한눈에 보기
이 절은 적분을 물리·공학 문제에 써먹는 자리예요. 크게 두 가지예요. 첫째, 유체 압력과 힘 — 물속 깊이 내려갈수록 압력이 세지는데, 깊이에 따라 변하는 압력을 적분으로 합쳐 벽에 걸리는 전체 힘을 구해요. 둘째, 질량중심(무게중심, center of mass) — 넓게 퍼진 물체가 딱 균형 잡히는 한 점을, 모멘트라는 개념과 적분으로 찾아요.
- 유체힘: 깊이의 함수인 압력을 적분해서 전체 힘으로
- 모멘트: "값 × 위치"의 합 — 평형을 재는 양
- 질량중심: 분포한 질량의 균형점 (\bar{x}, \bar{y})
먼저 알아야 할 것
개념 설명
유체힘
물속에서 압력은 깊이 d에 비례해요: P = \rho g d (여기서 \rho는 밀도, g는 중력가속도). 핵심은 깊이가 깊을수록 압력이 커진다는 거예요. 그래서 세워진 벽(댐, 수문)에 걸리는 힘은 위쪽과 아래쪽이 달라요 — 하나의 곱셈으로 끝나지 않죠.
그래서 벽을 깊이 방향으로 얇은 가로 띠들로 잘게 쪼개요. 각 띠는 깊이가 거의 일정하니 그 띠에 걸리는 힘은 "압력 × 띠 넓이"로 근사돼요. 이 작은 힘들을 깊이에 대해 적분하면 벽 전체에 걸리는 힘이 나와요. 압력이 깊이의 함수라서, 합치는 도구로 적분이 필요한 거예요.
식으로 쓰면 이래요. 깊이 x에서 벽의 가로 너비를 w(x)라 하면, 벽 전체에 걸리는 힘은
예요 — "그 깊이의 압력 \rho g x × 그 깊이의 띠 넓이 w(x)\,dx"를 깊이 a부터 b까지 다 더한 거죠.
질량중심
가늘고 넓은 판이 있을 때, 손가락 하나로 받쳐 균형이 잡히는 점이 질량중심이에요. 이걸 재는 열쇠가 모멘트(moment) — "질량 × (기준선까지의 거리)"예요. 시소를 떠올리면 쉬워요. 무거운 사람이 가까이, 가벼운 사람이 멀리 앉아야 균형이 맞죠. 이때 "무게 × 거리"가 양쪽이 같아지는 지점이 균형점이에요.
여러 점질량이라면 모멘트를 다 더하고 총질량으로 나눠 균형점을 구해요. 판처럼 연속으로 퍼진 물체는 그 합이 적분으로 바뀌어요. x축에 대한 모멘트, y축에 대한 모멘트를 각각 구해 총질량(균일하면 넓이)으로 나누면 무게중심 (\bar{x}, \bar{y})가 나와요. 밀도가 균일한 판의 무게중심은 순전히 모양만으로 정해지고, 이때는 도심(centroid)이라고도 불러요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
밑변이 x축, 위 경계가 y = x인 삼각형 판(0 \le x \le 2)의 무게중심을 구해봐요. (밀도 균일)
먼저 넓이예요.
가로 좌표 \bar{x}는 이렇게 나와요.
세로 좌표 \bar{y}는 공식의 \tfrac{1}{2}[f(x)]^2을 넣어요.
그래서 무게중심은 (\bar{x}, \bar{y}) = \left(\tfrac{4}{3}, \tfrac{2}{3}\right)예요. 삼각형의 무게중심이 세 꼭짓점 평균과 같다는 사실(\left(\tfrac{0+2+2}{3}, \tfrac{0+0+2}{3}\right))과도 딱 맞죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 유체힘은 깊이에 따라 변하는 압력을 얇은 띠로 쪼개 적분해 구해요.
- 질량중심은 모멘트(질량 × 거리)를 총질량으로 나눈 균형점 (\bar{x}, \bar{y})예요.
- 균일 판의 무게중심(도심)은 모양만으로 정해지고, 넓이·모멘트 정적분으로 계산해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 15.4에서 이중적분으로 질량중심을 구하면, 밀도가 위치마다 다른 판(비균일)까지 자연스럽게 다뤄요. 지금의 1변수 적분이 그 특수한 경우예요.